Quotientenkörper/Zwischenkörper/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}Q(S)$ der Quotientenkörper von ${}S$. Wegen

${}R\subseteq S\subseteq Q(S)\,$

gibt es nach Fakt einen injektiven Ringhomomorphismus

$Q(R)\longrightarrow Q(S).$

Wir behaupten, dass dieser auch surjektiv ist. Sei  ${}q\in Q(S)$  mit der Darstellung

${}q={\frac {s}{t}}\,$

mit  ${}s,t\in S$.  Wegen  ${}S\subseteq Q(R)$  gibt es wiederum Darstellngen  ${}s={\frac {a}{b}}$  und  ${}t={\frac {c}{d}}$  mit  ${}a,b,c,d\in R$.  Es ist

${}q={\frac {s}{t}}=st^{-1}={\frac {a}{b}}\left({\frac {c}{d}}\right)^{-1}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}\,.$

Daher ist ${}q$ das Bild von ${}{\frac {ad}{bc}}$.

Zur gelösten Aufgabe