R^2/(2,1),(-1,3)/Dualbasis/Standarddualbasis/Beispiel

Wir betrachten den ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit der Standardbasis ${}e_{1},e_{2}$, seiner Dualbasis ${}e_{1}^{*},e_{2}^{*}$ und die Basis bestehend aus ${}u_{1}={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ und ${}u_{2}={\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}$. Wir wollen die Dualbasis ${}u_{1}^{*}$ und ${}u_{2}^{*}$ als Linearkombinationen der Standarddualbasis ausdrücken, also in

${}u_{1}^{*}=ae_{1}^{*}+be_{2}^{*}\,$

(bzw. in ${}u_{2}^{*}=ce_{1}^{*}+de_{2}^{*}$) die Koeffizienten ${}a$ und ${}b$ (bzw. ${}c$ und ${}d$) bestimmen. Dabei ist ${}a=u_{1}^{*}(e_{1})$ und ${}b=u_{1}^{*}(e_{2})$. Um dies berechnen zu können, müssen wir ${}e_{1}$ und ${}e_{2}$ als Linearkombination der ${}u_{1}$ und ${}u_{2}$ ausdrücken. Dies ist

${}e_{1}={\frac {3}{7}}{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}-{\frac {1}{7}}{\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}\,$

und

${}e_{2}={\frac {1}{7}}{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}+{\frac {2}{7}}{\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}\,.$

Also ist

${}a=u_{1}^{*}(e_{1})=u_{1}^{*}{\left({\frac {3}{7}}u_{1}-{\frac {1}{7}}u_{2}\right)}={\frac {3}{7}}\,$

und entsprechend

${}b=u_{1}^{*}(e_{2})=u_{1}^{*}{\left({\frac {1}{7}}u_{1}+{\frac {2}{7}}u_{2}\right)}={\frac {1}{7}}\,$

und somit ist

${}u_{1}^{*}={\frac {3}{7}}e_{1}^{*}+{\frac {1}{7}}e_{2}^{*}\,.$

Mit den gleichen Rechnungen ergibt sich

${}u_{2}^{*}=-{\frac {1}{7}}e_{1}^{*}+{\frac {2}{7}}e_{2}^{*}\,.$

Die Übergangsmatrix von ${}u^{*}$ zu ${}e^{*}$ ist daher

${}M_{\mathfrak {e^{*}}}^{\mathfrak {u^{*}}}={\begin{pmatrix}{\frac {3}{7}}&-{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{7}}&{\frac {2}{7}}\end{pmatrix}}\,.$

Die transponierte Matrix davon ist

${}{{\left(M_{\mathfrak {e^{*}}}^{\mathfrak {u^{*}}}\right)}^{\text{tr}}}={\begin{pmatrix}{\frac {3}{7}}&{\frac {1}{7}}\\-{\frac {1}{7}}&{\frac {2}{7}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&-1\\1&3\end{pmatrix}}^{-1}={\left(M_{\mathfrak {e}}^{\mathfrak {u}}\right)}^{-1}\,.$

Die umgekehrte Aufgabe, die Standarddualbasis durch ${}u_{1}^{*}$ und ${}u_{2}^{*}$ auszudrücken, ist einfacher zu lösen, da man dies aus der Darstellung der ${}u_{i}$ bezüglich der Standardbasis direkt ablesen kann. Es ist

${}e_{1}^{*}=2u_{1}^{*}+u_{2}^{*}\,$

und

${}e_{2}^{*}=-u_{1}^{*}+3u_{2}^{*}\,,$

wie man überprüft, wenn man beidseitig an ${}u_{1},u_{2}$ auswertet.