R^n/Unterraum/Summe ist 0/Basis/Beispiel

Wir betrachten den ${}R$-Untermodul  ${}U\subset R^{n}$,  der durch

${}U={\left\{v\in R^{n}\mid \sum _{i=1}^{n}v_{i}=0\right\}}\,$

gegeben ist. Eine Basis ist durch die ${}n-1$ Vektoren

$u_{1}=(1,-1,0,0,\ldots ,0),\,u_{2}=(0,1,-1,0,\ldots ,0),\,,\ldots ,u_{n-1}=(0,0,\ldots ,0,1,-1),\,$

gegeben. Diese Vektoren gehören offenbar zu ${}U$. Die lineare Unabhängigkeit kann man in ${}R^{n}$ überprüfen. Aus einer Gleichung

${}\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}u_{i}=0\,$

folgt schrittweise  ${}a_{1}=0$,   ${}a_{2}=0$,  u.s.w. Dass ein Erzeugendensystem vorliegt, ergibt sich aus

${}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\vdots \\v_{n-1}\\v_{n}\end{pmatrix}}=v_{1}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\\vdots \\0\\0\end{pmatrix}}+(v_{1}+v_{2}){\begin{pmatrix}0\\1\\-1\\\vdots \\0\\0\end{pmatrix}}+(v_{1}+v_{2}+v_{3}){\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+\cdots +(v_{1}+v_{2}+v_{3}+\cdots +v_{n-1}){\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\vdots \\1\\-1\end{pmatrix}}\,,$

wobei die Gültigkeit in der letzten Zeile auf der Bedingung

${}\sum _{i=1}^{n}v_{i}=0\,$

beruht.