Kurs:Funktionentheorie/Randwege für Dreiecke

Einleitung

Der Gradient $Grad(\gamma )(t_{1},t_{2})$ in einer orientierten Fläche $Grad(\gamma )$ gibt als Vektor im $\mathbb {C} ^{2}$ die Orientierung der Fläche in jedem Punkt $\gamma (t_{1},t_{2})\in \mathbb {C}$ an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion $F$ von $f$ eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche $\gamma _{_{\Delta }}$ berechnen zu können.

Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche

Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über Konvexkombinationen und die Orientierung in einem Punkt $\gamma _{_{\Delta }}(t_{1},t_{2})$ des Dreieck aus dem Gradienten von $Grad\left(\gamma _{_{\Delta }}\right)(t_{1},t_{2})$:

${\begin{array}{rcl}\gamma _{_{\Delta }}(t_{1},t_{2})&=&z_{1}+(z_{2}-z_{1})\cdot t_{1}+(z_{3}-z_{2})\cdot t_{1}\cdot t_{2}\\Grad\left(\gamma _{_{\Delta }}\right)(t_{1},t_{2})&=&{\bigg (}(z_{2}-z_{1})+(z_{3}-z_{2})\cdot t_{2}\,\,\,,\,\,\,(z_{3}-z_{2})\cdot t_{1}{\bigg )}\in \mathbb {C} ^{2}\end{array}}$

Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen

In der folgenden Animation ist Gradient $Grad\left(\gamma _{_{\Delta }}\right)(t_{1},t_{2})\in \mathbb {C} ^{2}$ jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt $\gamma _{_{\Delta }}(t_{1},t_{2})\in \Delta (z_{1},z_{2},z_{3})$ eingezeichnet worden.

Visualization of gradient for surface integral in complex analysis

Kollinearität des Gradienten mit Randwege

Wenn man die obige Animation bezogen auf Kollinearität speziell für die die Randpunkte $z\in \partial \Delta (z_{1},z_{2},z_{3})$ des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen ${\frac {d\gamma _{\Delta }}{dt_{1}}}$ und ${\frac {d\gamma _{\Delta }}{dt_{2}}}$ in den Kollinearität zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion $F$ treten wiederum im Flächenintegralsatz für Dreiecke auf, um die orientierte Dreiecksfläche berechnen zu können.

Definition - Randwegintegral Dreieck

Sei $\gamma _{_{\Delta }}:[0,1]\times [0,1]\to G$ die orientierte Dreiecksfläche, die sich aus der Darstellung über Konvexkombinationen ergibt:

${\begin{array}{rcl}\gamma _{_{\Delta }}(t_{1},t_{2})&=&z_{1}+(z_{2}-z_{1})\cdot t_{1}+(z_{3}-z_{2})\cdot t_{1}\cdot t_{2}\\\end{array}}$

Das Integral über den Randweg von $z_{1}$ nach $\langle z_{2},z_{3}\rangle$ für das Dreiecks $\Delta (z_{1},z_{2},z_{3})$ wird als Differenz von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion $F$ von $f$ definiert:

${\underset {\langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle }{\quad \iint \quad }}\!\!\!\!\!\!f(z)\,\,d^{2}\!z\,\,:=-\!\!\!{\underset {\langle z_{1},z_{2}\rangle }{\int }}\!\!\!{\tfrac {1}{2}}F(\xi )\,\,d\xi +\!\!\!{\underset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\int }}\!\!\!{\tfrac {1}{2}}F(\xi )\,\,d\xi -\!\!\!{\underset {\langle z_{3},z_{1}\rangle }{\int }}\!\!\!{\tfrac {1}{2}}F(\xi )\,\,d\xi$

Bemerkung - Randweg im Rechteck

Das Randwegintegral im Rechteck $R$ hat eine ähnliche alternierende Struktur (siehe Randwegintegral im Rechteck). Dies deutet bereits die allgemeinere Struktur von orientierten Flächenintegral bei Vielecken an, bei der Vieleck auch additiv in Teildreieck zerlegt werden können. Die Definition der orientierten Flächen ist dabei konsistent zur komplexwertigen Flächeninhaltsaddition von Teilflächen.

Randwegintegrallemma im Dreieck

Sei $\gamma _{_{\Delta }}:[0,1]\times [0,1]\to G$ die orientierte Dreiecksfläche, die sich aus der Darstellung über Konvexkombinationen ergibt:

${\begin{array}{rcl}\gamma _{_{\Delta }}(t_{1},t_{2})&=&z_{1}+(z_{2}-z_{1})\cdot t_{1}+(z_{3}-z_{2})\cdot t_{1}\cdot t_{2}\\\end{array}}$

Das alternierende Randwegintegral berechnet die orientierte Dreiecksfläche.

${\underset {\gamma _{_{\Delta }}}{\iint }}f(z)\,\,d^{2}\!z\,\,={\underset {\langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle }{\quad \iint \quad }}\!\!\!\!\!\!f(z)\,\,d^{2}\!z$

Integralnotation

In einigen Fällen benötigt man eine Kurzform der Integraldarstellung. Dies wird im Folgenden genannt.

${\overset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\underset {z_{1}}{\iint }}}f(z)\,\,d^{2}\!z\,\,:=\!\!\!{\underset {\langle z_{1},z_{3}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi -\!\!\!{\underset {\langle z_{1},z_{2}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi ={\underset {\langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle }{\quad \iint \quad }}\!\!\!\!\!\!f(z)\,\,d^{2}\!z$

Bemerkung - Randwegintegral Dreieck

Nach dem Flächenintegralsatz für Dreiecke liefert der Wert des Randwegintegrals für Dreiecke auch den orientierten Flächeninhalt des Dreiecks selbst, d.h.

${\overset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\underset {z_{1}}{\iint }}}f(z)\,\,d^{2}\!z\,\,={\underset {\langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle }{\iint }}F(\xi )\,\,d^{2}\!\xi =\iint _{\gamma _{_{\Delta }}}f(z)\,d^{2}\!z$

Kombinatorische Möglichkeiten

Im bisherigen Kurs zur Funktionentheorie wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe Lemma von Goursat. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten:

• Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung)
• Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung)

Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen.

Randwege und Flächen

Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die zwar wie geschlossene Wege über den gesamten Rand des Vielecks laufen, aber pro Kante des Polygons eine alternierde Orientierung der Integrationswege besitzen. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im Flächenintegralsatz für Dreiecke der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird.

Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg

Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die Konvexkombinationen in einem Punkt $z_{1}$ als Integrationweg $\langle z_{1},z_{1}\rangle$ startet und zu Integrationsweg $\langle z_{2},z_{3}\rangle$ transformiert wird. Jeder Punkt $z$ aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden.

${\overset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\underset {z_{1}}{\iint }}}f(z)\,\,d^{2}\!z=\iint _{\gamma _{_{\Delta }}}f(z)\,d^{2}\!z={\underset {\langle z_{1},z_{3}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi -\!\!\!{\underset {\langle z_{1},z_{2}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi$

Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg

Surface integral from z1 to z2,z3

Beispielrechnung 1 - Punkt zu Integrationsweg

Sei $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ mit $f(z)=z^{2}$. Mit dem Satz über lokale Stammfunktionen erhält man als Stammfunktion $F(z)={\tfrac {1}{3}}z^{3}$ und als Flächenstammfunktion $F_{_{\Box }}(z)={\tfrac {1}{12}}z^{4}$. Mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke erhält man mit der obigen orientierten Fläche folgenden Wert des Integrals:

${\overset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\underset {z_{1}}{\iint }}}f(z)\,\,d^{2}\!z=\iint _{\gamma _{_{\Delta }}}f(z)\,d^{2}\!z=F_{_{\Box }}(z_{3})-F_{_{\Box }}(z_{2})=-196-288i$

Wobei die Punkte $z_{1}:=1+i$, $z_{2}:=6+2i$ und $z_{3}:=:=4+6i$ als Eckpunkte des Dreiecks gewählt wurden.

Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt

Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges $\langle z_{2},z_{3}\rangle$ zu einem Punkt $z_{1}$ bzw. dem Integrationweg $\langle z_{1},z_{1}\rangle$ als Konvexkombinationen. Formal bezeichnet diese Transformation:

${\overset {\quad \quad z_{1}\quad }{\underset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\iint }}}f(z)\,\,d^{2}\!z=-\iint _{\gamma _{_{\Delta }}}f(z)\,d^{2}\!z={\underset {\langle z_{3},z_{1}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi -\!\!\!{\underset {\langle z_{2},z_{1}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi$

Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt

Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1

Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges

Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg $\langle z_{2},z_{3}\rangle$ zu $\langle z_{3},z_{2}\rangle$ und transformiert diesen wieder zu einem Punkt $z_{1}$ bzw. dem Integrationsweg $\langle z_{1},z_{1}\rangle$. Das Wegintegral über die Stammfunktion $F$ von $f:G\to \mathbb {C}$ hat damit folgende Formulierung:

${\overset {\quad \quad z_{1}\quad }{\underset {\langle z_{3},z_{2}\rangle }{\iint }}}f(z)\,\,d^{2}\!z=\iint _{\gamma _{_{\Delta }}}f(z)\,d^{2}\!z={\underset {\langle z_{2},z_{1}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi -\!\!\!{\underset {\langle z_{3},z_{1}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi$

Veranschaulichung - Orientierungswechsel

Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra

Randweg 3 - Umformung der Darstellung

In der obigen Animation kontrahiert der Weg $\langle z_{3},z_{2}\rangle$ zu einem Punkt $z_{1}$. Dies entspricht dem Flächenintegral:

${\begin{array}{rcl}\displaystyle \iint _{\gamma _{_{\Delta }}}f(z)\,d^{2}\!z&=&\displaystyle -{\underset {\langle z_{1},z_{2}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi +\!\!\!{\underset {\langle z_{1},z_{3}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi \\&=&\displaystyle \!\!\!{\underset {\langle z_{2},z_{1}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi -\!\!\!{\underset {\langle z_{3},z_{1}\rangle }{\int }}F(\xi )\,\,d\xi \\&=&\displaystyle {\underset {\langle z_{3},z_{2}\rangle }{\overset {z_{1}}{\iint }}}f(z)\,d^{2}\!z={\underset {z_{1}}{\overset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\iint }}}f(z)\,d^{2}\!z\\\end{array}}$

Bemerkung zu Randweg 3 - Umformungen

In der obigen Umformungen zeigen die Gleichheit der folgenden beiden Flächenintegrale:

${\begin{array}{rcl}\displaystyle \iint _{\gamma _{_{\Delta }}}f(z)\,d^{2}\!z&=&\displaystyle \!\!\!{\underset {\langle z_{3},z_{2}\rangle }{\overset {z_{1}}{\iint }}}f(z)\,d^{2}\!z\,\,\,={\underset {z_{1}}{\overset {\langle z_{2},z_{3}\rangle }{\iint }}}f(z)\,d^{2}\!z\\\end{array}}$

Bei dem zweiten Gleichheitszeichen ändert sich das Vorzeichen nicht, da zwei vorzeichenändernde Operationen durchgeführt wurden:

• Vertauschung der Integralgrenzen im Doppelintegral $\iint \ldots$ und
• Richtungswechsel im Integrationsweg $\langle z_{3},z_{2}\rangle$ zu $\langle z_{2},z_{3}\rangle$.

Siehe auch

• Flächenintegralsatz für Dreiecke
• Konvexkombination
• orientierte Fläche

Mathematische Teilgebiete

• Differentialgeometrie
• Geometrie
• Riemannsche Flächen