Rationale Folge/7n^4-2n^2+5 durch 4n^4-5n^3+n-6/Aufgabe/Lösung

Für ${}n\geq 1$ kann man die Folge (durch Erweiterung mit ${}1/n^{4}$ ) als

{}x_{n}:={\frac {7n^{4}-2n^{2}+5}{4n^{4}-5n^{3}+n-6}}={\frac {7-2{\frac {1}{n^{2}}}+5{\frac {1}{n^{4}}}}{4-5{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n^{3}}}-6{\frac {1}{n^{4}}}}}\,

schreiben. Folgen vom Typ ${}a/n,\,a/n^{2},\,a/n^{3}$ und ${}a/n^{4}$

sind Nullfolgen. Aufgrund der Summenregel für konvergente Folgen konvergiert der Zähler gegen

{}7

und der Nenner gegen

{}4

, so dass nach der Quotientenregel die Folge insgesamt gegen

{}7/4\in \mathbb {Q}

konvergiert.