Rationale Funktion/Körper/Einführung/Textabschnitt

Im Polynomring ${}K[X]$ kann man addieren und multiplizieren, es handelt sich aber nicht um einen Körper, da man von ${}0$ verschiedene Polynome nicht invertieren kann. Beispielsweise besitzt ${}X$ kein Inverses, im Polynomring gibt es kein Element ${}X^{-1}$. Man kann aber mit Hilfe von formal-rationalen Funktionen einen Körper konstruieren. Dazu definiert man

${}K(X):={\left\{{\frac {P}{Q}}\mid P,Q\in K[X],\,Q\neq 0\right\}}\,,$

wobei man zwei Brüche ${}{\frac {P}{Q}}$ und ${}{\frac {P'}{Q'}}$ miteinander identifiziert, wenn

${}PQ'=P'Q\,$

ist. Auf diese Weise entsteht der Körper der rationalen Funktionen (über ${}K$).

Man kann auch Brüche ${}P/Q$ von Polynomen als Funktionen auffassen, die außerhalb der Nullstellen des Nenners definiert sind. Das Beispiel zeigt den Graphen der rationalen Funktion ${}1/X$.

Diese Brüche kann man wiederum als sinnvolle Funktionen auffassen, allerdings nicht auf ganz ${}K$. Der Definitionsbereich besteht vielmehr aus dem Komplement der Nullstellen des Nennerpolynoms.

Definition

Zu zwei Polynomen ${}P,Q\in \mathbb {R} [X]$, ${}Q\neq 0$, heißt die Funktion

$D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto {\frac {P(z)}{Q(z)}},$

wobei ${}D$ das Komplement der Nullstellen von ${}Q$ ist, eine rationale Funktion.