Rationale Funktion/Körper/Einführung/Textabschnitt

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Im Polynomring kann man addieren und multiplizieren, es handelt sich aber nicht um einen Körper, da man von verschiedene Polynome nicht invertieren kann. Beispielsweise besitzt kein Inverses, im Polynomring gibt es kein Element . Man kann aber mit Hilfe von formal-rationalen Funktionen einen Körper konstruieren. Dazu definiert man

wobei man zwei Brüche und miteinander identifiziert, wenn

ist. Auf diese Weise entsteht der Körper der rationalen Funktionen (über ).

Man kann auch Brüche von Polynomen als Funktionen auffassen, die außerhalb der Nullstellen des Nenners definiert sind. Das Beispiel zeigt den Graphen der rationalen Funktion .


Diese Brüche kann man wiederum als sinnvolle Funktionen auffassen, allerdings nicht auf ganz . Der Definitionsbereich besteht vielmehr aus dem Komplement der Nullstellen des Nennerpolynoms.


Definition  

Zu zwei Polynomen , , heißt die Funktion

wobei das Komplement der Nullstellen von ist, eine rationale Funktion.