Rationale Funktion/y ist x +1 durch x/Projektiver Abschluss/Aufgabe/Lösung

a) ${}\,$

b) Aus

${}y=x+{\frac {1}{x}}={\frac {x^{2}+1}{x}}\,$

ergibt sich die affine Gleichung

${}xy-x^{2}-1=0\,$

und durch Homogenisierung die Gleichung

${}xy-x^{2}-z^{2}=0\,$

für den projektiven Abschluss, also

${}D=V_{+}{\left(xy-x^{2}-z^{2}\right)}\,.$

c) Die hinzukommenden Punkte erhält man, indem man  ${}z=0$  setzt. Dies führt zur GLeichung

${}xy-x^{2}=x(y-x)=0\,$

mit den beiden Lösungen  ${}x=0$  und  ${}y=x$.  Dies entspricht den Punkten

${}P=(0,1,0)\,$

und

${}Q=(1,1,0)\,.$

Dabei ist ${}D_{+}(y)$ eine offene affine Umgebung für beide Punkte. Die Gleichung wird dort zu  ${}x-x^{2}-z^{2}=0$,  woraus man direkt sieht, dass die Multiplizität von ${}P$ gleich ${}1$ ist. Für ${}Q$ arbeiten wir mit den beiden partiellen Ableitungen. Die Bedingungen  ${}1-2x=2z=0$  sind in ${}(1,1)$ nicht erfüllt, also ist auch dies ein glatter Punkt mit der Multiplizität ${}1$.

d) ${}\,$

Zur gelösten Aufgabe