Rationale Zahlen/Additive und multiplikative Gruppe/Homomorphismus/Trivial/Aufgabe/Lösung

Es sei

$\phi (r)=q=\frac{a}{b}\in {\mathbb{Q}}^{\times }$

mit  $a,b\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$  festgelegt. Unter $\phi$ muss dann der Quotient $\frac{r}{n}$ auf eine $n$-te Wurzel von $q$ abgebildet werden. Es sei

$q=\pm p_1^{{\nu }_1}\cdots p_k^{{\nu }_k}$

die eindeutige Faktorzerlegung mit Primzahlen $p_j$ und  ${\nu }_j\in \mathbb{Z}$.  Der Fall $q$ negativ ist wegen  $n=2$  ausgeschlossen. Bei

$q\ne 1$

wäre ein Exponent  ${\nu }_j\ge 1$.  Aufgrund der Quotientenbedingung müsste ${\nu }_j$ ein Vielfaches von jedem  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  sein, was nicht möglich ist. Also ist

 $\phi (r)=1$. 

Zur gelösten Aufgabe