Reelle Partialbruchzerlegung/x nach x^5+3x^3-2x^2+x-1 durch (x-1)^2(x^2+1)/Aufgabe/Lösung

Zunächst ist

{}(x-1)^{2}(x^{2}+1)=(x^{2}-2x+1)(x^{2}+1)=x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1\,.

Polynomdivision des Zählers durch den Nenner ergibt

{}x^{5}+3x^{3}-2x^{2}+x-1=(x+2)(x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1)+5x^{3}-4x^{2}+4x-3\,.

Daher ist

{}{\frac {x^{5}+3x^{3}-2x^{2}+x-1}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}}=x+2+{\frac {5x^{3}-4x^{2}+4x-3}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}}\,.

Für den rechten Bruch bestimmen wir die Partialbruchzerlegung über den Ansatz

{}{\frac {5x^{3}-4x^{2}+4x-3}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}}={\frac {a}{x-1}}+{\frac {b}{(x-1)^{2}}}+{\frac {cx+d}{(x^{2}+1)}}\,,

der wiederum auf

{}5x^{3}-4x^{2}+4x-3=a(x-1)(x^{2}+1)+b(x^{2}+1)+(cx+d)(x-1)^{2}\,

führt.

Für ${}x=1$ ergibt sich

{}2=2b\,,

also ${}b=1$ .

Für ${}x=0$ ergibt sich

{}-3=-a+1+d\,,

also

{}4=a-d\,.

Für ${}x=-1$ ergibt sich

{}-5-4-4-3=-16=-4a+2+4(-c+d)\,,

also ${}{\frac {18}{4}}=a+c-d$ .

Der Koeffizient zu ${}x^{3}$ führt schließlich auf

{}5=a+c\,.

Die Subtraktion der dritten Gleichung von der zweiten führt auf

{}c={\frac {18}{4}}-4={\frac {1}{2}}\,.

Aus der vierten Gleichung folgt daraus

{}a={\frac {9}{2}}\,

und aus der zweiten Gleichung ergibt sich

{}d={\frac {1}{2}}\,.

Somit ergibt sich insgesamt die Partialbruchzerlegung

{}{\frac {x^{5}+3x^{3}-2x^{2}+x-1}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}}=x+2+{\frac {\frac {9}{2}}{x-1}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}}}+{\frac {{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}}{(x^{2}+1)}}\,.