Reelle Vektorbündel/Topologischer Raum/Konstruktionen/Lineare Algebra/Textabschnitt

Definition

Zu reellen Vektorbündeln ${}E$ und ${}F$ auf einem topologischen Raum ${}X$ mit Trivialisierungen

$\alpha _{i}\colon E{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{m}$

und

$\beta _{i}\colon F{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}$

nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum

${}G_{i}=U_{i}\times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\,$

und

$\varphi _{ij}\colon G_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow G_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$

mit

${}\varphi _{ij}(x,v,w):=\left(x,\,\alpha _{j}(\alpha _{i}^{-1}(x,v)),\,\beta _{j}(\beta _{i}^{-1}(x,w))\right)\,$

die direkte Summe der Vektorbündel ${}E$ und ${}F$. Es wird mit ${}E\oplus F$ bezeichnet.

Wenn ${}E$ durch die Matrixbeschreibung

$\varphi _{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\longrightarrow \operatorname {GL} _{m}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$

und ${}F$ durch die Matrixbeschreibung

$\psi _{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\longrightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)},$

so erhält man die Matrixbeschreibung von ${}E\oplus F$, indem man die beiden Matrizen diagonal zu einer ${}(m+n)\times (m+n)$-Matrix zusammensetzt und mit Nullen auffüllt.

Definition

Zu reellen Vektorbündeln ${}E$ und ${}F$ auf einem topologischen Raum ${}X$ mit Trivialisierungen

$\alpha _{i}\colon E{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{m}$

und

$\beta _{i}\colon F{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}$

nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum

${}G_{i}=U_{i}\times {\left(\mathbb {R} ^{m}\otimes \mathbb {R} ^{n}\right)}\,$

und

$\varphi _{ij}\colon G_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow G_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$

mit

${}\varphi _{ij}:={\left(\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}\right)}\otimes {\left(\beta _{j}\circ \beta _{i}^{-1}\right)}\,$

(dabei wird für jeden Basispunkt das Tensorprodukt der linearen Abbildungen genommen) das Tensorprodukt der Vektorbündel ${}E$ und ${}F$. Es wird mit ${}E\otimes F$ bezeichnet.

Bei gegebenen Matrixbeschreibungen erhält man die Matrixbeschreibung des Tensorproduktes durch das sogenannte Kroneckerprodukt. Dabei wird jeder Eintrag der einen Matrix mit jedem Eintrag der anderen Matrix multipliziert.

Definition

Zu einem reellen Vektorbündel ${}E$ vom Rang ${}m$ auf einem topologischen Raum ${}X$ mit Trivialisierungen

$\alpha _{i}\colon E{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{m}$

und ${}r\in \mathbb {N}$ nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum

${}G_{i}=U_{i}\times {\left(\bigwedge ^{r}\mathbb {R} ^{m}\right)}\,$

und

$\varphi _{ij}\colon G_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow G_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$

mit

${}\varphi _{ij}:=\bigwedge ^{r}{\left(\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}\right)}\,$

(dabei wird für jeden Basispunkt das ${}r$-te äußere Produkt der linearen Abbildungen genommen) das ${}r$-te äußere Produkt des Vektorbündels ${}E$. Es wird mit ${}\bigwedge ^{r}E$ bezeichnet.

Bei einer gegebenen Matrixbeschreibung von ${}E$ erhält man die Matrixbeschreibung des ${}r$-ten äußeren Produktes, indem man sämtliche Determinanten der ${}r\times r$-Untermatrizen zu einer Matrix zusammenfasst.

Definition

Zu einem reellen Vektorbündel ${}E$ vom Rang ${}m$ auf einem topologischen Raum ${}X$ nennt man das ${}m$-te äußere Produkt ${}\bigwedge ^{m}E$ das Determinantenbündel von ${}E$. Es wird mit ${}\det E$ bezeichnet.

Das Determinantenbündel ist ein Geradenbündel. Die Matrixbeschreibung ist durch die Determinante gegeben.

Definition

Zu reellen Vektorbündeln ${}E$ und ${}F$ auf einem topologischen Raum ${}X$ mit Trivialisierungen

$\alpha _{i}\colon E{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{m}$

und

$\beta _{i}\colon F{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}$

nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum

${}G_{i}=U_{i}\times \operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(\mathbb {R} ^{m},\mathbb {R} ^{n}\right)}\,$

und

$\varphi _{ij}\colon G_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow G_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$

mit

${}\varphi _{ij}(\theta ):={\left(\beta _{j}\circ \beta _{i}^{-1}\right)}\circ \theta \circ {\left(\alpha _{i}\circ \alpha _{j}^{-1}\right)}\,$

die Homomorphismenbündel der Vektorbündel ${}E$ und ${}F$. Es wird mit ${}\operatorname {Hom} {\left(E,F\right)}$ bezeichnet.

Definition

Zu einem reellen Vektorbündel ${}E$ auf einem topologischen Raum ${}X$ nennt man das Homomorphismenbündel ${}\operatorname {Hom} {\left(E,X\times \mathbb {R} \right)}$ das duale Bündel von ${}E$. Es wird mit ${}E^{*}$ bezeichnet.