Reelle Vektorbündel/Topologischer Raum/Konstruktionen/Lineare Algebra/Textabschnitt

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Definition  

Zu reellen Vektorbündeln und auf einem topologischen Raum mit Trivialisierungen

und

nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum

und

mit

die direkte Summe der Vektorbündel und . Es wird mit bezeichnet.

Wenn durch die Matrixbeschreibung

und durch die Matrixbeschreibung

so erhält man die Matrixbeschriebung von , indem man die beiden Matrizen diagonal zu einer -Matrix zusammensetzt und mit Nullen auffüllt.


Definition  

Zu reellen Vektorbündeln und auf einem topologischen Raum mit Trivialisierungen

und

nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum

und

mit

(dabei wird für jeden Basispunkt das Tensorprodukt der linearen Abbildungen genommen) das Tensorprodukt der Vektorbündel und . Es wird mit bezeichnet.

Bei gegebenen Matrixbeschreibungen erhält man die Matrixbeschreibung des Tensorproduktes durch das sogenannte Kroneckerprodukt. Dabei wird jeder Eintrag der einen Matrix mit jedem Eintrag der anderen Matrix multipliziert.


Definition  

Zu einem reellen Vektorbündel vom Rang auf einem topologischen Raum mit Trivialisierungen

und nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum

und

mit

(dabei wird für jeden Basispunkt das -te äußere Produkt der linearen Abbildungen genommen) das -te äußere Produkt des Vektorbündels . Es wird mit bezeichnet.

Bei einer gegebenen Matrixbeschreibung von erhält man die Matrixbeschreibung des -ten äußeren Produktes, indem man sämtliche Determinanten der -Untermatrizen zu einer Matrix zusammenfasst.


Definition  

Zu einem reellen Vektorbündel vom Rang auf einem topologischen Raum nennt man das -te äußere Produkt das Determinantenbündel von . Es wird mit bezeichnet.

Das Determinantenbündel ist ein Geradenbündel. Die Matrixbeschreibung ist durch die Determinante gegeben.


Definition  

Zu reellen Vektorbündeln und auf einem topologischen Raum mit Trivialisierungen

und

nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum

und

mit

die Homomorphismenbündel der Vektorbündel und . Es wird mit bezeichnet.


Definition  

Zu einem reellen Vektorbündel auf einem topologischen Raum nennt man das Homomorphismenbündel das duale Bündel von . Es wird mit bezeichnet.