Reelles Polynom/Normiert/Linearfaktoren/Nullstellen/Positivität/Aufgabe/Lösung

Es sei (a) erfüllt, und sei

${}P=(X-\lambda _{1})\cdots (X-\lambda _{n})=(X+\delta _{1})\cdots (X+\delta _{n})\,$

die Faktorzerlegung in Linearfaktoren (mit ${}\delta _{i}=-\lambda _{i}$).

Nach Voraussetzung sind alle ${}\delta _{i}$ positiv. Daher sind sämtliche Koeffizienten von ${}P$, die sich ja durch ausmultiplizieren ergeben, ebenfalls positiv. Somit folgt (b). Aus (b) folgt direkt (c). Von (c) nach (a) ist auch klar.

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