Reellwertige Funktion/Lokale Extrema/Notwendiges Kriterium/Einführung/Textabschnitt

Wir wollen mit den Mitteln der Differentialrechnung Kriterien erarbeiten, in welchen Punkten eine Funktion

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum annimmt. Wenn man sich den Graphen einer solchen Funktion als ein Gebirge über der Grundmenge ${}G$ vorstellt, so geht es also um die Gipfel und die Senken des Gebirges. Der folgende Satz liefert ein notwendiges Kriterium für die Existenz eines lokalen Extremums, das das entsprechende Kriterium (Fakt) in einer Variablen verallgemeinert.

Satz

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und  ${}G\subseteq V$  eine offene Teilmenge. Es sei

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion, die im Punkt  ${}P\in G$  ein lokales Extremum besitzt. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn ${}f$ in ${}P$ in Richtung  ${}v\in V$  differenzierbar ist, so ist

   ${}{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=0\,.$

2. Wenn ${}f$ in ${}P$ total differenzierbar ist, so verschwindet das totale Differential, also

   ${}\left(Df\right)_{P}=0\,.$

Beweis

(1) Zu  ${}v\in V$  betrachten wir die Funktion

$h\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto h(t)=f(P+tv),$

wobei ${}I$ ein geeignetes reelles Intervall ist. Da die Funktion ${}f$ in ${}P$ ein lokales Extremum besitzt, besitzt die Funktion ${}h$ in  ${}t=0$  ebenfalls ein lokales Extremum. Nach Voraussetzung ist ${}h$ differenzierbar und nach Fakt ist  ${}h'(0)=0$.  Diese Ableitung stimmt aber mit der Richtungsableitung überein, also ist

${}{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=h'(0)=0\,.$

(2) folgt aus (1) aufgrund von Fakt.

$\Box$

Ein lokales Extremum kann also nur in einem sogenannten kritischen Punkt einer Funktion auftreten.

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  ${}G\subseteq V$  offen und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion. Dann heißt  ${}P\in G$  ein kritischer Punkt von ${}f$ (oder ein stationärer Punkt), wenn

${}\left(Df\right)_{P}=0\,$

ist. Andernfalls spricht man von einem regulären Punkt.

Bei einer differenzierbaren Funktion ${}f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ ist ${}P$ genau dann ein kritischer Punkt, wenn sämtliche partiellen Ableitungen von ${}f$ in ${}P$ gleich ${}0$ sind.