Reflektionsgruppe/Zyklisch/Erzeuger keine Pseudoreflektion/Aufgabe/Lösung

Es seien  ${}m,n\geq 2$  teilerfremde Zahlen (beispielsweise ${}2,3$) und sei ${}\zeta$ eine primitive ${}m$-te Einheitswurzel und ${}\xi$ eine primitive ${}n$-te Einheitswurzel. Wir betrachten die von der Matrix

${}M={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\zeta &0\\0&0&\xi \end{pmatrix}}\,$

erzeugte Untergruppe. Diese ist eine zyklische Gruppe der Ordnung ${}mn$. Diese Matrix ist keine Pseudoreflektion, da sie insgesamt drei Eigenwerte besitzt. Die anderen Erzeuger der Gruppe sind von der Form ${}M^{k}$ mit ${}k$ teilerfremd zu ${}n$. Dann ist ${}k$ teilerfremd zu ${}m$ und zu ${}n$ und daher sind ${}\zeta ^{k}$ und ${}\xi ^{k}$ ebenfalls primitiv. Insbesondere besitzt ${}M^{k}$ wieder drei verschiedene Eigenwerte und ist keine Pseudoreflektion.

Es ist

${}M^{m}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\zeta ^{m}&0\\0&0&\xi ^{m}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&\xi ^{m}\end{pmatrix}}\,$

${}M^{n}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\zeta ^{n}&0\\0&0&\xi ^{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\zeta ^{n}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,,$

dies sind also Pseudoreflektionen. Nach dem Lemma von Bezout gibt es ganze Zahlen ${}r,s$ mit

${}rm+sn=1\,.$

Daher ist

${}M=M^{rm+sn}={\left(M^{m}\right)}^{r}\cdot {\left(M^{n}\right)}^{s}\,$

und somit wird die Gruppe von den Pseudoreflektionen ${}M^{m}$ und ${}M^{n}$

erzeugt, ist also eine Reflektionsgruppe.

Zur gelösten Aufgabe