Rein-quadratisches Polynom/R/2 Variablen/Standardform/1/Beispiel

Wir betrachten das rein-quadratische Polynom

${}F=3X^{2}-4XY+5Y^{2}\,.$

Um Fakt anzuwenden, müssen wir von der Matrix

${}M={\begin{pmatrix}3&-2\\-2&5\end{pmatrix}}\,$

die Eigenwerte bestimmen. Das charakteristische Polynom ist

${}(X-3)(X-5)-4=X^{2}-8X+11=(X-4)^{2}-5\,.$

Somit sind die Eigenwerte gleich

$x_{1}={\sqrt {5}}+4{\text{ und }}x_{2}=-{\sqrt {5}}+4.$

In einer geeigneten Orthonormalbasis besitzt dieses Polynom daher die Form

${}F={\left({\sqrt {5}}+4\right)}U^{2}+{\left(-{\sqrt {5}}+4\right)}V^{2}\,.$