Rein-quadratisches Polynom/R/3 Variablen/Standardform/1/Beispiel

Wir möchten die rein-quadratische Form

${\frac {3}{2}}X^{2}+2Y^{2}+2XY-2YZ$

auf Standardform im Sinne von Fakt bringen. Die zugehörige symmetrische Matrix ist

${\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}&1&0\\1&2&-1\\0&-1&0\end{pmatrix}},$

deren Eigenwerte wir bestimmen müssen. Das charakteristische Polynom der Matrix ist

${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}X-{\frac {3}{2}}&-1&0\\-1&X-2&1\\0&1&X\end{pmatrix}}&={\left(X-{\frac {3}{2}}\right)}{\left(X^{2}-2X-1\right)}-X\\&=X^{3}-{\frac {7}{2}}X^{2}+X+{\frac {3}{2}}\\&=(X-1){\left(X^{2}-{\frac {5}{2}}X-{\frac {3}{2}}\right)}\\&=(X-1)(X-3){\left(X+{\frac {1}{2}}\right)},\end{aligned}}$

die Eigenwerte sind also

$1,3,-{\frac {1}{2}}.$

In den neuen Variablen ${}U,V,W$ zur Orthonormalbasis aus den Eigenvektoren zu diesen Eigenwerte ist

${}F=U^{2}+3V^{2}-{\frac {1}{2}}W^{2}\,.$