Rein-quadratisches Polynom/R/Variablenwechsel/Reine Form/Fakt

Hauptachsentransformation für rein-quadratische Polynome

{}F=\sum _{i\leq j}a_{ij}X_{i}X_{j}\,

besitzt in einer geeigneten Orthonormalbasis (bezüglich des Standardskalarproduktes) die Form

${}F=\sum _{1\leq i\leq n}r_{i}U_{i}^{2}\,.$

Die Koeffizienten ${}r_{i}$ sind die Eigenwerte der quadratischen symmetrischen Matrix

{}M={\left(\alpha _{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\,

mit

{}\alpha _{ij}={\begin{cases}a_{ij}{\text{ für }}i=j\,,\\{\frac {a_{ij}}{2}}{\text{ für }}i<j\,,\\{\frac {a_{ji}}{2}}{\text{ für }}i>j\,.\end{cases}}\,