Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenzreduktion/Kern ist zyklisch/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir zeigen, dass das Element , das offensichtlich zum Kern von

gehört, in der Einheitengruppe die Ordnung besitzt. Da diese Kerngruppe die Ordnung hat, muss die (multiplikative) Ordnung von ein Teiler davon sein, also von der Gestalt mit sein. Wir zeigen, dass in ist, so dass also nur noch die Ordnung möglich bleibt.

Nehmen wir also an, das bedeutet

Ausmultiplizieren ergibt den Ausdruck

Der erste Summand ist dabei und wir betrachten die weiteren Summanden

mit . Wir schreiben

So geordnet steht vorne und dann folgen Ausdrücke der Form , . Der Exponent der Primzahl in diesen letztgenannten Brüchen ist oben und unten gleich. Daher hängt der -Exponent des Binomialkoeffizienten nur von ab. Sei der -Exponent von . Der -Exponent von ist dann und damit ist der -Exponent von gleich

Wir behaupten, dass dies ist, was für klar ist (wegen ). Sei also . Dann gilt aber, wegen , die Abschätzung

was genau die Aussage ergibt. Damit ist insgesamt in der obigen Summation der erste Summand, also , kein Vielfaches von , aber alle weiteren Summanden sind Vielfache von , was einen Widerspruch bedeutet.