Restklassenring (Z)/Mod p und p^2/Primitive Elemente/Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Wir betrachten den kanonischen Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(p^{2})\longrightarrow \mathbb {Z} /(p)$

und den zugehörigen Gruppenhomomorphismus

${\left(\mathbb {Z} /(p^{2})\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$

der Einheitengruppen. Es sei ${}v$ eine primitive Einheit von ${}\mathbb {Z} /(p)$. Zeige, dass unter den Urbildern von ${}v$ in ${}\mathbb {Z} /(p^{2})$ ein Element keine primitive Einheit von ${}\mathbb {Z} /(p^{2})$ ist, und ${}p-1$ Elemente primitive Einheiten sind.

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