Restklassenring von RX/Normiertes Polynom/Wichtigste Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es sei  ${}P=\sum _{i=0}^{n}r_{i}X^{i}\in R[X]$  ein normiertes Polynom vom Grad ${}n$ und  ${}A=R[X]/(P)$  der zugehörige Restklassenring. Dann gelten folgende Rechenregeln (wir bezeichnen die Restklasse von ${}X$ in ${}A$ mit ${}x$).

1. In ${}A$ ist  ${}x^{n}=-\sum _{i=0}^{n-1}r_{i}x^{i}$. 
2. Höhere Potenzen ${}x^{k}$, ${}k\geq n$, kann man mit den Potenzen ${}x^{i}$, ${}i\leq n-1$, ausdrücken, indem man mittels Vielfachen von (2) sukzessive den Grad um eins reduziert.
3. Die Potenzen ${}x^{0}=1,\,x^{1}$ ${},\ldots ,x^{n-1}$ bilden eine ${}R$-Basis von ${}A$.
4. ${}A$ ist eine freier ${}R$-Modul vom Rang ${}n$.
5. In ${}A$ werden zwei Elemente ${}P=\sum _{i=0}^{n-1}b_{i}x^{i}$ und ${}Q=\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}x^{i}$ komponentenweise addiert, und multipliziert, indem sie als Polynome multipliziert werden und dann die Restklasse berechnet wird.

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