Restklassenring von RX/Normiertes Polynom/Wichtigste Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Dies folgt direkt durch Umstellung der definierenden Gleichung  ${}P=0$. 
2. Dies folgt durch Multiplikation der Gleichung in (1) mit Potenzen von ${}x$.
3. Dass die Potenzen ${}x^{i}$, ${}i=0,\ldots ,n-1$, ein Erzeugendensystem bilden, folgt aus Teil (1) und (2). Zum Beweis der linearen Unabhängigkeit sei  angenommen, es gebe eine lineare Abhängigkeit, sagen wir  ${}\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}x^{i}=0$.  D.h., dass das Polynom  ${}Q=\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}X^{i}$  unter der Restklassenabbildung auf ${}0$ geht, also zum Kern gehört. Dann muss es aber ein Vielfaches von ${}P$ sein, was aber aus Gradgründen und wegen der Normiertheit von ${}P$ erzwingt, dass ${}Q$ das Nullpolynom sein muss. Also sind alle  ${}c_{i}=0$. 
4. Dies folgt direkt aus (3).
5. Dies ist klar.

Zur bewiesenen Aussage