Restklassenringe (Z)/mod 360/Produktring, Einheiten/239/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${}360=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\,,$

daher ist

${}\mathbb {Z} /(360)=\mathbb {Z} /(8)\times \mathbb {Z} /(9)\times \mathbb {Z} /(5)\,.$

b) Nach der Formel für die eulersche ${}\varphi$-Funktion ist die Anzahl der Einheiten gleich

${}\varphi (360)=4\cdot 6\cdot 4=96\,.$

c) Die Reste von ${}239$ modulo ${}8,9$ und ${}5$ sind

$(7,5,4).$

Da jede Komponente teilerfremd zu den zugehörigen Modulozahlen sind, handelt sich es sich insgesamt um eine Einheit. Das Inverse ist

$(7,2,4).$

d) Zur Berechnung der Ordnung von ${}239$ modulo ${}360$ schreiben wir

${}(7,5,4)=(-1,5,-1)\,.$

Die Ordnung in der ersten und der dritten Komponente ist ${}2$, die Ordnung in der zweiten Komponente ist wegen ${}5^{2}=7$, ${}5^{3}=35=-1$ gleich ${}6$, da ja ${}\mathbb {Z} /(9)^{\times }$ die Ordnung ${}6$ besitzt. Daher ist die Ordnung von ${}239$ gleich ${}6$.

Zur gelösten Aufgabe