Restklassenringe von Z/mod 11 und mod 121/Primitive Elemente/F 121/Ordnungen/Aufgabe/Lösung

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In betrachten wir das Element . Die Ordnung von ist ein Teiler von . Es ist und , so dass die Ordnung ist, also ist primitiv.

Wir betrachten in . Dieser Ring hat Einheiten, also ist die Ordnung von ein Teiler von . Andererseits folgt aus , dass auch ist. Dann muss ein Vielfaches von sein. An möglichen Ordnungen bleiben also oder . Es ist . Also ist die Ordnung und ist primitiv modulo .

Damit hat die Ordnung und hat die Ordnung .

ist ein Körper und die Einheitengruppe ist zyklisch der Ordnung . Daher gibt es dort Elemente der Ordnung , aber nicht der Ordnung .