Riemann integrierbar/Elementare Eigenschaften/Maximum/Fakt/Beweis

Beweis

Wir müssen zeigen, dass es zu jedem  $ϵ>0$  eine obere und eine untere Treppenfunktion derart gibt, dass die Differenz der beiden Treppenintegrale $\le ϵ$ ist. Es sei also ein  $ϵ>0$  vorgegeben. Aufgrund der Riemann-Integrierbarkeit gibt es Treppenfunktionen

$s_1\text{ und }{t}_1\text{ mit }{s}_1\le f\le t_1\text{ und mit }{\int }_a^b(t_1-s_1)(x)dx\le ϵ/2$

und

$s_2\text{ und }{t}_2\text{ mit }{s}_2\le g\le t_2\text{ und mit }{\int }_a^b(t_2-s_2)(x)dx\le ϵ/2.$

Wir können annehmen, dass diesen Treppenfunktionen die gleiche Unterteilung zugrunde liegt. Es sei ${\ell }_k$, $k=1,\dots ,n$ die Länge des $k$-ten Teilintervalls $I_k$ und es sei

${\delta }_k:=(t_1-s_1){|}_{I_k}+(t_2-s_2){|}_{I_k}.$

Dann gilt

$\begin{array}{cc}\sum _{k=1}^n{\ell }_k{\delta }_k& =\sum _{k=1}^n{\ell }_k((t_1-s_1){|}_{I_k}+(t_2-s_2){|}_{I_k})\\ & =\sum _{k=1}^n{\ell }_k(t_1-s_1){|}_{I_k}+\sum _{k=1}^n{\ell }_k(t_2-s_2){|}_{I_k}\\ & \le \frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}\\ & =ϵ.\end{array}$

Wir setzen

$s:=max(s_1,s_2)\text{ und }t:=max(t_1,t_2).$

Dies ist offenbar eine untere bzw. obere Treppenfunktion für $max(f,g)$. Wir betrachten ein Teilintervall $I_k$ der gegebenen Unterteilung. Wenn dort

$s_1\le s_2\text{ und }{t}_1\le t_2$

gilt, so ist dort

$t-s=t_2-s_2\le {\delta }_k.$

Wenn dort

$s_1\le s_2\text{ und }{t}_2\le t_1$

gilt, so ist dort ebenfalls

$t-s=t_1-s_2\le t_1-s_1\le {\delta }_k.$

 Dies gilt auch in den beiden anderen Fällen.

Damit ist die Differenz der Treppenintegrale $\le \sum _{k=1}^n{\ell }_k{\delta }_k\le ϵ$.

Zur bewiesenen Aussage