Riemannsche Fläche/Ausbreitungsraum/Textabschnitt

Lemma

Der Ausbreitungsraum zur Garbe der holomorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche

ist ein Hausdorffraum.

Beweis

Es sei ${}X$ die riemannsche Fläche und ${}p\colon E\rightarrow X$ der Ausbreitungsraum zur Strukturgarbe. Seien ${}(x,f),(y,g)\in E$ verschiedene Punkte. Bei ${}x\neq y$ kann man direkt die Urbilder von trennenden offenen Mengen von ${}X$ nehmen. Es sei also ${}x=y$ und seien also ${}f,g\in {\mathcal {O}}_{X,x}$ verschiedene Keime. Diese seien repräsentiert durch verschiedene holomorphe Funktionen

$f,g\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

auf einer offenen zusammenhängenden Umgebung von ${}x$. Dann sind nach dem Identitätssatz in der Form Fakt  (3) auch die Keime von ${}f$ und ${}g$ in jedem Punkt ${}y\in U$ verschieden. Daher sind ${}(U,f)$ und ${}(U,g)$ trennende offene Umgebungen.

$\Box$

Auf dem Ausbreitungsraum ${}E$ zu einer riemannschen Fläche ${}X$ gibt es eine natürliche global definierte Funktion

$E\longrightarrow {\mathbb {C} },$

die einem holomorphen Funktionskeim ${}(x,f)$ den wohldefinierten Wert ${}f(x)$ zuordnet.

Satz

Der Ausbreitungsraum zur Garbe der holomorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche

ist in eindeutiger Weise eine riemannsche Fläche derart, dass ${}p\colon E\rightarrow X$ eine holomorphe Abbildung und ein lokaler Homöomorphismus ist. Die Auswertungsabbildung

$E\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,f)\longmapsto f(x),$

ist eine holomorphe Funktion auf ${}E$.

Beweis

Ein lokaler Homöomorphismus liegt nach Fakt vor, deshalb gibt es eine eindeutige komplexe Struktur auf ${}E$ derart, dass ${}p$ holomorph wird. Die Hausdorffeigenschaft ist wegen Fakt erfüllt. Die Auswertung entspricht auf der zu ${}U$ homöomorphen offenen Menge ${}(U,f)$ der holomorphen Funktion ${}f$ und ist damit selbst holomorph.

$\Box$