Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Einführung/Textabschnitt

Definition

Eine Funktion ${}f\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf einer riemannschen Fläche ${}X$ heißt holomorph, wenn es eine offene Überdeckung

${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

mit Karten

$\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}\subseteq {\mathbb {C} }$

derart gibt, dass

$f\circ \alpha _{i}^{-1}\colon V_{i}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

holomorph sind.

Lemma

Es sei ${}X$ eine riemannschen Fläche und ${}f\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Funktion. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

1. ${}f$ ist holomorph.
2. Für jede mit der komplexen Struktur kompatible Karte

   $\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq {\mathbb {C} }$

   ist ${}f\circ \alpha ^{-1}$ holomorph.

3. ${}f$ ist in jedem Punkt durch eine komplexe Potenzreihe beschreibbar.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Dabei ist die Potenzreihe auf dem Kartenbild definiert und hängt von der gewählten Karte ab. Die Eigenschaft (2) zeigt, dass man den Atlas durch kompatible Karten auffüllen kann, ohne dabei die holomorphen Funktionen zu verändern. Deshalb nimmt man häufig kompatible Karten hinzu, etwa solche, die zusammenhängend sind oder die homöomorph zu einer Kreisscheibe sind oder hinreichend klein, um gewissen Punkten auszuweichen und Ähnliches.

Korollar

Für eine offene Teilmenge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ und eine Funktion ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$

bedeutet die Holomorphie von ${}f$ als Funktion der riemannschen Fläche ${}U$ einfach die Holomorphie von ${}f$.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Konstante Funktionen sind holomorph.
2. Die Summe von holomorphen Funktionen ist holomorph.
3. Das Produkt von holomorphen Funktionen ist holomorph.
4. Zu einer nullstellenfreien holomorphen Funktion ${}f$ ist auch ${}f^{-1}$ holomorph.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Die letzte Teilaussage wird zumeist auf holomorphe Funktionen angewendet, die Nullstellen haben, und wo man dann ${}f$ auf die nullstellenfreie offene Teilmenge einschränkt und dort holomorph invertiert.

Viele substantielle Ergebnisse der komplexen Funktionentheorie übertragen sich direkt auf riemannsche Flächen. Gelegentlich braucht man die Bedingung, dass die riemannsche Fläche zusammenhängend ist. Häufig wird eine riemannsche Fläche als zusammenhängend definiert.

Satz

Es sei ${}X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche und sei

$f\colon X\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine von der Nullfunktion verschiedene holomorphe Funktion auf ${}X$.

Dann ist die Nullstellenmenge von ${}f$ eine diskrete Teilmenge von ${}X$.

Beweis

Nehmen wir an, dass die Nullstellenmenge nicht diskret ist. Dann gibt es einen Punkt ${}x\in X$ der Nullstelle derart, dass es in jeder offenen Umgebung von ${}x$ unendliche viele Punkte der Nullstellenmenge gibt. Es sei ${}x\in U$ eine Kartenumgebung und

$\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq {\mathbb {C} }$

die Kartenabbildung. Nach Fakt ist dann ${}f{|}_{U}\circ \alpha ^{-1}$ die Nullfunktion. Wir zeigen, dass dann ${}f$ überhaupt die Nullfunktion ist im Widerspruch zur Voraussetzung. Sei ${}y\in X$ ein weiterer Punkt und sei

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$

ein stetiger Weg, der ${}x$ mit ${}y$ verbindet. Es seien ${}U_{1}=U,U_{2},\ldots ,U_{n}$ offene zusammenhängende Kartenumgebungen, die das (kompakte) Bild dieses Weges überdecken und die ${}U_{i}\cap U_{i+1}\neq \emptyset$ erfüllen. Dann ist, wie eben bemerkt, ${}f{|}_{U_{1}}=0$. Da die holomorphe Funktion ${}f{|}_{U_{2}}\circ \alpha _{2}^{-1}$ auf ${}V_{2}$ holomorph ist, und auf ${}\alpha _{2}(U_{1}\cap U_{2})$ die Nullfunktion ist, folgt, wieder mit Fakt, dass ${}f{|}_{U_{2}}\circ \alpha _{2}^{-1}$ und damit auch ${}f{|}_{U_{2}}$ die Nullfunktion ist. Induktiv fortfahrend ergibt sich, dass ${}f{|}_{U_{i}}$ für alle ${}i$ die Nullfunktion ist und dass insbesondere ${}f(y)=0$ ist.

$\Box$

Satz

Es sei ${}X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche und seien

$f,g\colon X\longrightarrow {\mathbb {C} }$

holomorphe Funktionen auf ${}X$. Es gebe eine Folge ${}x_{n}\in X$ mit einem Häufungspunkt (der kein Folgenglied sei) derart, dass

${}f(x_{n})=g(x_{n})\,$

für ${}n\in \mathbb {N}$ ist.

Dann ist ${}f=g$.

Beweis

Wir betrachten die Differenz ${}h=f-g$, die nach Fakt wieder holomorph ist. Es ist dann

${}h(x_{n})=0\,$

und da die Folgenglieder ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ einen Häufungspunkt besitzen, handelt es sich um eine nichtdiskrete Menge. Nach Fakt ist ${}h=0$ und damit ${}f=g$.

$\Box$

Satz

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann gibt es auf ${}X$ nur die konstanten holomorphen Funktionen.

Beweis

Nach Fakt ist das Bild von ${}X$ unter der stetigen Abbildung ${}\vert {f}\vert$ wieder kompakt. Nach dem Satz von Heine-Borel ist somit das Bild von ${}\vert {f}\vert$ abgeschlossen und beschränkt. Das bedeutet insbesondere, dass das Maximum von ${}\vert {f}\vert$ unter der Funktion angenommen wird. Es gibt also ein ${}P\in X$ mit ${}\vert {f(P)}\vert \geq \vert {f(Q)}\vert$ für alle Punkte ${}Q\in X$. Es sei ${}P\in U\subseteq X$ ein zusammenhängendes Kartengebiet. Aus dem Maximumsprinzip, angewendet auf ${}f\circ \alpha ^{-1}$ folgt, dass ${}f{|}_{U}$ konstant ist. Also ist ${}f$ nach Fakt überhaupt konstant.

$\Box$

Definition

Zu einer riemannschen Fläche ${}X$ bezeichnet man den Ring der holomorphen Funktionen auf ${}X$ mit

$\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$

und spricht von der (globalen Auswertung der) Strukturgarbe auf ${}X$.

Es ist also

${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})={\left\{f:X\longrightarrow {\mathbb {C} }\mid f{\text{ holomorph}}\right\}}\,.$

Zu jeder offenen Telmenge ${}U\subseteq X$ ist ${}U$ wieder eine riemannsche Fläche und somit ist auch

${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})\,$

definiert. Man spricht von der Auswertung der Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$ auf ${}U$. Wir werden später das abstrakte Garbenkonzept kennenlernen. Die wichtigsten Eigenschaften werden in der folgenden Aussage zusammengefasst.

Lemma

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu offenen Mengen ${}V\subseteq U$ von ${}X$ und einer holomorphen Funktion

   $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   ist die Einschränkung ${}f{|}_{V}$ eine holomorphe Funktion auf ${}V$.

2. Zu offenen Mengen ${}V\subseteq U$ ist die Einschränkungsabbildung

   $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{X}),\,f\longmapsto f{|}_{V},$

   ein ${}{\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismus.

3. Zu offenen Mengen ${}V\subseteq U$ mit ${}U$ zusammenhängend und ${}V\neq \emptyset$ ist die Einschränkungsabbildung

   $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{X}),\,f\longmapsto f{|}_{V}$

   injektiv.

4. Es sei ${}U$ eine offene Menge und ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung und seien holomorphe Funktionen ${}f,g\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ mit

   ${}f{|}_{U_{i}}=g{|}_{U_{i}}\,$

   für alle ${}i$ gegeben. Dann ist ${}f=g$.

5. Es sei ${}U$ eine offene Menge und ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung und seien holomorphe Funktionen ${}f_{i}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$ mit

   ${}f_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}=f_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\,$

   für alle ${}i,j$ gegeben. Dann gibt es eine holomorphe Funktion ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ mit

   ${}f{|}_{U_{i}}=f_{i}\,$

   alle ${}i$.

Beweis

1. ist klar aufgrund der lokalen Definition von holomorph.
2. ist klar, da die algebraischen Operationen punktweise definiert sind.
3. folgt aus Fakt.
4. ist klar, da die Gleichheit von Funktionen punktweise definiert ist.
5. Zunächst ergibt sich durch punktweise Festlegung direkt eine Funktion ${}f\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$, die auf die vorgegebenen Funktionen einschränkt. Diese ist holomorph, da die Holomorphie eine lokale Eigenschaft ist.

$\Box$