Riemannsche Fläche/Hyperelliptisch/Einführung/Textabschnitt

Jede kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche ${}X$ besitzt nach Fakt eine endliche holomorphe Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}.$

Man kann sich fragen, was dabei der minimale Grad ist, mit dem man ${}X$ oberhalb der projektiven Geraden realisieren kann. Grad ${}1$ ist nur bei einem Isomorphismus möglich, also wenn ${}X$ selbst die projektive Gerade ist. Riemannsche Flächen vom Geschlecht ${}1$ (also komplexe Tori bzw. elliptische Kurven) lassen sich durch eine endliche holomorphe Abbildung vom Grad ${}2$ realisieren, siehe etwa den Beweis zu Fakt. Es gibt aber auch kompakte riemannsche Fläche von einem Geschlecht ${}\geq 2$, die sich mit Grad ${}2$ realisieren lassen.

Definition

Eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche ${}X$ heißt hyperelliptisch, wenn es eine endliche holomorphe Abbildung

$X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$

vom Grad ${}2$ gibt und das Geschlecht von ${}X$ ${}\geq 2$ ist.

Beispiele ergeben sich aus Fakt, Fakt und Fakt. Viele Aussagen wie auch die folgende über hyperelliptische riemannsche Flächen gelten in der Regel erst recht auch für elliptische riemannsche Flächen, entscheidend ist die Existenz der Abbildung vom Grad ${}2$.

Korollar

Es sei ${}X$ eine hyperelliptische riemannsche Fläche mit einer endlichen holomorphen Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ vom Grad ${}2$.

Dann gilt für das Geschlecht ${}g$ und den Verzweigungsdivisor ${}R$ von ${}\varphi$ die Beziehung

${}\operatorname {Grad} \,(R)=2g+2\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

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