Riemannsche Fläche/Kompakt/Residuensatz/Textabschnitt

Wie in der Funktionentheorie definiert man das Residuum in einem Punkt ${}P$ einer ${}1$-Form ${}\omega$ auf einer riemannschen Fläche ${}X$, die in ${}X\setminus \{P\}$ holomorph ist, durch

${}\operatorname {Res} _{P}\left(\omega \right)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }\omega \,,$

wobei ${}\gamma$ einen einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Weg um ${}P$ innerhalb einer Kartenumgebung bezeichnet, die biholomorph zu einer offenen Kreisscheibe ist. Dies stimmt mit dem Koeffizienten ${}c_{-1}$ der Laurent-Entwicklung überein.

Satz

Es sei ${}X$ eine kompakte riemannsche Fläche, es sei

${}D=\{P_{1},\ldots ,P_{n}\}\subseteq X\,$

eine endliche Teilmenge in ${}X$ und ${}\omega$ eine holomorphe Differentialform auf ${}X\setminus D$.

Dann ist

${}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Res} _{P_{i}}\left(\omega \right)=0\,.$

Beweis

Wir wählen zu jedem Punkt ${}P_{i}$ offene Kartenumgebungen ${}V_{i}$, die zueinander disjunkt und biholomorph zu einer offenen Menge ${}{\tilde {V}}_{i}\subseteq {\mathbb {C} }$ sind. Es sei

${}{\tilde {P}}_{i}\in {\tilde {U}}_{i}\subseteq {\tilde {B}}_{i}\subseteq {\tilde {V}}_{i}\,$

eine offene Kreisscheibe um den Kartenbildpunkt zu ${}P_{i}$ innerhalb von ${}{\tilde {V}}_{i}$. Es sei ${}{\tilde {B}}_{i}$ die abgeschlossene Kreisscheibe zu ${}{\tilde {U}}_{i}$, die ganz innerhalb von ${}{\tilde {V}}_{i}$ sei. Es sei ${}{\tilde {S}}_{i}$ der Kreisrand von ${}{\tilde {B}}_{i}$ und sei ${}{\tilde {\gamma }}$ ein einfacher Durchlauf durch ${}{\tilde {S}}_{i}$ gegen den Uhrzeigersinn. Es seien ${}U_{i},B_{i},S_{i},\gamma _{i}$ die entsprechenden Objekte auf ${}X$. Wir betrachten die abgeschlossene und damit kompakte Untermannigfaltigkeit mit Rand

${}M:=X\setminus \bigcup _{i=1}^{n}U_{i}\,,$

der Rand ist ${}\bigcup _{i=1}^{n}S_{i}$. Die Untermannigfaltigkeit ${}M$ und ihr Rand erben von der riemannschen Fläche die Orientierung. Die ${}1$-Form ${}\omega$ ist auf ${}M$ geschlossen, da dies nach Fakt auf ${}X\setminus D$ gilt. Daher ist der Satz von Stokes anwendbar und ergibt

${}0=\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega =\sum _{i=1}^{n}\int _{\gamma _{i}}\omega =\sum _{i=1}^{n}-2\pi {\mathrm {i} }\cdot \operatorname {Res} _{P_{i}}\left(\omega \right)\,.$

(das Minuszeichen rührt daher, dass die ${}S_{i}$ die Orientierung als Rand von ${}M$ tragen ud nicht als Rand von ${}U_{i}$).

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