Riemannsche Fläche/Kompakt/g-faches Produkt in DKG 0/Surjektiv/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}D\in \operatorname {DKG} _{0}{\left(X\right)}$ vorgegeben. Wir betrachten den Divisor ${}E=D+gQ$. Dieser hat den Grad ${}g$. Nach Fakt ist somit die Dimension von ${}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(E))$ positiv und das bedeutet, dass es eine meromorphe Funktion ${}f$ gibt, deren Hauptdivisor

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}+E\geq 0\,$

erfüllt. Da der Grad dieses effektiven Divisors nach Fakt gleich ${}g$ ist und er effektiv ist, besitzt dieser Divisor die Form

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}+E=\sum _{i=1}^{g}P_{i}\,$

mit gewissen Punkten ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in X$, wobei Wiederholungen erlaubt sind. Dieser Divisor ist linear äquivalent zu ${}E$ und daher ist ${}D$ linear äquivalent zu ${}\sum _{i=1}^{g}P_{i}-gQ$. Daher ist ${}[D]=\sum _{i=1}^{g}[P_{i}]-g[Q]$.

Zur bewiesenen Aussage