Wir betrachten die Abbildung
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Wenn man
lokal durch eine Karte mit dem offenen Kartenbild
beschreibt, so liegt eine komplex-differenzierbare Abbildung
-
in den komplexen Variablen
und
vor, wobei
einen lokalen Parameter von
bezeichne. Das Nullstellengebilde
ist die Faser von
über dem Nullpunkt
.
Die beiden partiellen Ableitungen von
sind
-

und
-

Ein Punkt
ist genau dann ein
regulärer Punkt
für
, wenn zumindest eine der beiden partiellen Ableitungen in diesem Punkt nicht verschwindet. Deshalb ist das glatte Nullstellengebilde
nach Definition die Menge der regulären Punkte zu
. Der
Satz über implizite Abbildungen
zeigt, dass die Faser
lokal in jedem regulären Punkt homöomorph zu einer offenen Teilmenge von
ist, und dass diese Homöomorphismen durch komplex-differenzierbare Abbildungen nach
gegeben sind. Somit liegt auf
die Struktur einer eindimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit vor, also eine riemannsche Fläche.
Die Holomorphie der beiden Abbildungen ergibt sich ebenfalls aus dem Satz über implizite Abbildungen.