Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Glattes Nullstellengebilde/Riemannsche Fläche/Holomorphe zweite Projektion/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir betrachten die Abbildung

Wenn man lokal durch eine Karte mit dem offenen Kartenbild beschreibt, so liegt eine komplex-differenzierbare Abbildung

in den komplexen Variablen und vor, wobei einen lokalen Parameter von bezeichne. Das Nullstellengebilde ist die Faser von über dem Nullpunkt . Die beiden partiellen Ableitungen von sind

und

Ein Punkt ist genau dann ein regulärer Punkt für , wenn zumindest eine der beiden partiellen Ableitungen in diesem Punkt nicht verschwindet. Deshalb ist das glatte Nullstellengebilde nach Definition die Menge der regulären Punkte zu . Der Satz über implizite Abbildungen zeigt, dass die Faser lokal in jedem regulären Punkt homöomorph zu einer offenen Teilmenge von ist, und dass diese Homöomorphismen durch komplex-differenzierbare Abbildungen nach gegeben sind. Somit liegt auf die Struktur einer eindimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit vor, also eine riemannsche Fläche. Die Holomorphie der beiden Abbildungen ergibt sich ebenfalls aus dem Satz über implizite Abbildungen.