Riemannsche Fläche/Strukturgarbe/Differenzierbare Funktionen/Dolbeault/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche.

Dann ist der Komplex

$0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {E}}{\stackrel {d^{a}}{\longrightarrow }}{\mathcal {E}}^{(0,1)}$

exakt.

Beweis

Die Untergarbenbeziehung wurde schon in Fakt gezeigt. Zum Nachweis der Exaktheit können wir annehmen, dass ${}X\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge ist. Nach Fakt wird ${}d^{a}$ durch ${}f\mapsto {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}d\,{\overline {z}}$ beschrieben. Die Holomorphie von ${}f$ ist dann nach Cauchy-Riemann äquivalent zu ${}d^{a}f=0$.

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Lemma

Es sei ${}g\in {\mathcal {E}}{\left({\mathbb {C} }\right)}$ mit kompaktem Träger.

Dann gibt es eine Funktion ${}f\in {\mathcal {E}}{\left({\mathbb {C} }\right)}$ mit

${}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=g\,$

Beweis

Die Funktion ${}f$ wird explizit konstruiert über ein Integral.

${}f(w)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int \int _{{\mathbb {C} }\setminus \{w\}}{\frac {g(z)}{z-w}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\,.$

Wegen

${}dz\wedge d\,{\overline {z}}=d(x+{\mathrm {i} }y)\wedge d(x-{\mathrm {i} }y)=-2{\mathrm {i} }dx\wedge dy\,$

liegt das Integral zum ${}-2{\mathrm {i} }$-fachen des Lebesgue-Maßes vor (man kann ${}f$ auch direkt so ansetzen). Mit in ${}w$ zentrierten Polarkoordinaten ist das Integral (vergleiche Fakt) gleich

${}f(w)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }{\frac {g{\left(w+re^{{\mathrm {i} }\theta }\right)}}{re^{{\mathrm {i} }\theta }}}\cdot r\,dr\,dt=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }{\frac {g{\left(w+re^{{\mathrm {i} }\theta }\right)}}{e^{{\mathrm {i} }\theta }}}\,dr\,dt\,,$

wobei die untere Integrationsgrenze für ${}r$ nicht dazugehört.

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Satz

Es sei ${}U=U{\left(0,r\right)}\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Kreisscheibe (wobei der Fall ${}r=\infty$ erlaubt ist) und ${}g\in {\mathcal {E}}{\left(U\right)}$.

Dann gibt es ein ${}f\in {\mathcal {E}}{\left(U\right)}$ mit

${}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=g\,.$

Beweis

Dolbeault/C/Offene Kreisscheibe/Differenzierbare Funktion/Fakt/Beweis

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Satz

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche.

Dann ist der Komplex

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}\,{\stackrel {d^{a}}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(0,1)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

exakt.

Beweis

Dies folgt aus Fakt und, da man die Exaktheit lokal testen kann, unter Verwendung von Fakt aus Fakt.

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