Riemannsche Flächen/Normale Überlagerung/Holomorphe Differentialform/Invariant und Rückzug/Fakt/Beweis

Beweis

Dass der Rückzug ${}p^{*}\omega$ einer holomorphen Differentialform ${}\omega$ auf ${}Y$ invariant ist, folgt mit Fakt unmittelbar aus

${}\varphi ^{*}{\left(p^{*}\omega \right)}={\left(p\circ \varphi \right)}^{*}\omega =p^{*}\omega \,$

für alle Decktransformationen ${}\varphi \in G$. Wenn umgekehrt eine ${}G$-invariante holomorphe Differentialform ${}\alpha$ auf ${}X$ vorliegt, so gelangt man in folgender Weise zu einer holomorphen Differentialform auf ${}Y$: Man wählt zu jedem Punkt ${}Q\in Y$ eine offene Umgebung ${}Q\in V\subseteq Y$ mit einer disjunkten Zerlegung

${}p^{-1}(V)=\biguplus _{i\in I}U_{i}\,$

und induzierten biholomorphen Abbildungen ${}p_{i}\colon U_{i}\rightarrow V$. Man definiert ${}\omega$ auf ${}V$ durch ${}{\left(p_{i}\right)}_{*}\alpha$ zu einem beliebigen ${}i\in I$. Da es wegen der Normalität der Überlagerung stets eine eindeutige Decktransformation

$\varphi \colon U_{i}\longrightarrow U_{j}$

gibt, ist es egal, welches ${}i$ man wählt. Daraus folgt auch die Unabhängigkeit von der Wahl von ${}V$ und ebenso die Verträglichkeit bei Überschneidungen.

Zur bewiesenen Aussage