Ring/Kommutativ/Halbring vorausgesetzt/Textabschnitt

Definition

Eine Menge ${}R$ heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

$+:R\times R\longrightarrow R{\text{ und }}\cdot :R\times R\longrightarrow R$

und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente  ${}0,1\in R$  gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle  ${}a,b,c\in R$  gilt  ${}(a+b)+c=a+(b+c)$. 
   2. Kommutativgesetz: Für alle  ${}a,b\in R$  gilt  ${}a+b=b+a$. 
   3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle  ${}a\in R$  ist  ${}a+0=a$. 
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem  ${}a\in R$  gibt es ein Element  ${}b\in R$  mit  ${}a+b=0$. 
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle  ${}a,b,c\in R$  gilt  ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$. 
   2. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle  ${}a\in R$  ist  ${}a\cdot 1=1\cdot a=a$. 
3. Distributivgesetz: Für alle  ${}a,b,c\in R$  gilt  ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$  und  ${}(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$. 

Definition

Ein Ring ${}R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.

Ein kommutativer Ring ist insbesondere ein kommutativer Halbring, alle für Halbringe geltenden Eigenschaften wie beispielsweise die allgemeine binomische Formel gelten insbesondere auch für kommutative Ringe. Der wesentliche Unterschied liegt in der zusätzlichen Bedingung (1.4), der Existenz des Negativen. Dies bedeutet, dass in einem Ring das additive Monoid ${}(R,+,0)$ eine (kommutative) Gruppe ist. Dieses Negative ist nach Fakt eindeutig bestimmt. Für das zu jedem  ${}a\in R$  eindeutig bestimmte Negative schreiben wir ${}-a$. Wegen

${}a+(-a)=0\,$

ist ${}a$ auch das Negative zu ${}-a$, also  ${}-(-a)=a$. 

Mit diesem Begriff können wir festhalten.

Satz

Die ganzen Zahlen ${}(\mathbb {Z} ,0,1,+,\cdot )$

bilden einen kommutativen Ring.

Beispiel

Die einelementige Menge  ${}R=\{0\}$  kann man zu einem Ring machen, indem man sowohl die Addition als auch die Multiplikation auf die einzig mögliche Weise erklärt, nämlich durch ${}0+0=0$ und ${}0\cdot 0=0$. In diesem Fall ist  ${}1=0$,  dies ist also ausdrücklich erlaubt. Diesen Ring nennt man den Nullring.

In einem kommutativen Ring ${}R$ und Elemente  ${}a,b\in R$  verwendet man

${}a-b=a+(-b)\,$

als abkürzende Schreibweise. Man spricht von der Subtraktion bzw. der Differenz. Die Subtraktion ${}a-b$ ist also die Addition von ${}a$ mit dem Negativen (also ${}-b$) von ${}b$.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}a,b,c$ Elemente aus ${}R$.

Dann gelten folgende Aussagen.

1. ${}0a=0\,$

   (Annullationsregel),

2. ${}a(-b)=-(ab)=(-a)b\,,$

3. ${}(-a)(-b)=ab\,$

   (Vorzeichenregel),

4. ${}a(b-c)=ab-ac\,.$

Beweis

1. Es ist  ${}a0=a(0+0)=a0+a0$.  Durch beidseitiges Abziehen (also Addition mit $-a0$) von ${}a0$ ergibt sich die Behauptung.

2. ${}(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0\,$

   nach Teil (1). Daher ist ${}(-a)b$ das (eindeutig bestimmte) Negative von ${}ab$.

3. Nach (2) ist  ${}(-a)(-b)=(-(-a))b$  und wegen  ${}-(-a)=a$  folgt die Behauptung.
4. Dies folgt auch aus dem bisher Bewiesenen.

$\Box$

Wie in jedem kommutativen Halbring kann man in jedem kommutativen Ring ${}R$ Ausdrücke der Form ${}nx$ mit  ${}n\in \mathbb {N}$  und  ${}x\in R$  sinnvoll interpretieren, und zwar ist ${}nx$ die ${}n$-fache Summe von ${}x$ mit sich selbst. Auch die Potenzschreibweise ${}x^{n}$ wird wieder verwendet und es gelten insbesondere die in Fakt formulierten Potenzgesetze. Darüber hinaus kann man auch für negative Zahlen ${}-n$ den Ausdruck ${}(-n)x$ interpretieren, nämlich als

${}(-n)x=n(-x)=\underbrace {(-x)+\cdots +(-x)} _{n{\text{-mal}}}\,.$

Insbesondere ist

${}-n=(-n)\cdot 1=n\cdot (-1)=\underbrace {(-1)+\cdots +(-1)} _{n{\text{-mal}}}\,$

in jedem kommutativen Ring sinnvoll interpretierbar. Dabei gelten naheliegende Rechengesetze, siehe Aufgabe.