Satz über implizite Abbildungen/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei der Kern des totalen Differentials . Aufgrund der vorausgesetzten Surjektivität und der Dimensionsformel ist dies ein -dimensionaler Untervektorraum von . Durch einen Basiswechsel können wir annehmen, dass von den ersten Standardvektoren erzeugt ist (Der Unterraum wird dann bijektiv auf abgebildet). Es sei

die lineare Projektion auf und es sei

die zusammengesetzte Abbildung. Diese ist selbst stetig differenzierbar und das totale Differential davon im Punkt ist bijektiv, so dass wir darauf den Satz über die Umkehrabbildung anwenden können. Es gibt also offene Umgebungen , , und , , derart, dass die eingeschränkte Abbildung

bijektiv ist mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung. Für die offene Menge gibt es offene Mengen

mit . Wir können den Diffeomorphismus auf das (offene) Urbild von einschränken. Wir betrachten das kommutative Diagramm

bzw. die Einschränkung davon

Die Faser über ist . Diese Menge steht über die horizontale Abbildung in Bijektion mit der Faser von über , also mit .
Wir betrachten nun die Abbildung

Es ist

so dass das Bild von in der Tat in landet. Die Injektivität von ist klar. Sei nun . Dann ist

und daher ist

Also ist

im Bild von .
Die Abbildung

ist nach Konstruktion stetig differenzierbar und das totale Differential ist in jedem Punkt injektiv, da die Hintereinanderschaltung einer affin-linearen Injektion und eines Diffeomorphismus ist. Da in der Faser von über liegt, ist konstant. Nach der Kettenregel ist .

Zur bewiesenen Aussage