Satz über implizite Abbildungen/Produkt/Nicht anwendbar/Beispiel

Es sei

$\phi :{ℝ}^n⟶{ℝ}^1$

eine Funktion der Form

$\phi =\psi \cdot \theta$

mit stetig differenzierbaren Funktionen

$\psi ,\theta :{ℝ}^n⟶{ℝ}^1$

und mit

$\psi (P)=\theta (P)=0$

für einen bestimmten Punkt  $P\in {ℝ}^n$.  Dann ist nach Fakt

${\left(D\phi \right)}_P=\psi (P)\cdot {\left(D\theta \right)}_P+\theta (P)\cdot {\left(D\psi \right)}_P=0$

und der Satz über implizite Abbildungen ist im Punkt $P$ nicht anwendbar. In diesem Beispiel hat das Auftreten der Singularität eine einfache Erklärung. Für die Faser zu $\phi$ über dem Nullpunkt gilt die Beziehung

${\phi }^{-1}(0)={\psi }^{-1}(0)\cup {\theta }^{-1}(0)$

und das bedeutet, dass $P$ ein Punkt der Faser ist, in dem sich die beiden „Komponenten“ ${\psi }^{-1}(0)$ und ${\theta }^{-1}(0)$ treffen. Diese Situation gilt beispielsweise für  $\phi =xy$  im Nullpunkt des ${ℝ}^2$. Die Faser durch den Nullpunkt ist das Achsenkreuz.