Satz von Bezout/Konzentrische Kreise/C/Aufgabe/Lösung

Da die beiden Polynome das Einheitsideal in ${}{\mathbb {C} }[X,Y]$ erzeugen, gibt es in ${}{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}$ keinen Schnittpunkt. Die homogenen Polynome sind

$X^{2}+Y^{2}-Z^{2}\,\,{\text{ und }}\,\,X^{2}+Y^{2}-4Z^{2}.$

Die Schnittpunkte auf ${}V_{+}(Z)$ ergeben isch, wenn man  ${}Z=0$  setzt. Dies führt auf die Bedingung ${}V_{+}{\left(X^{2}+Y^{2}\right)}$ mit den beiden Lösungen ${}(1,{\mathrm {i} },0)$ und ${}(1,-{\mathrm {i} },0)$. Die Schnittmultiplizitäten kann man auf ${}D_{+}(X)$ berechnen, die beschreibenden Polynome sind

$1+Y^{2}-Z^{2}\,\,{\text{ und }}\,\,1+Y^{2}-4Z^{2}$

mit den beiden Schnittpunkten ${}({\mathrm {i} },0)$ und ${}(-{\mathrm {i} },0)$. Mit der verschobenen Variablen

${}W=Y-{\mathrm {i} }\,$

geht es um den Nullpunkt und die beiden Polynome ${}W^{2}+2{\mathrm {i} }W-Z^{2}$ und ${}W^{2}+2{\mathrm {i} }W-4Z^{2}$. Es geht also um den Restklassenring (letztlich seine Lokalisierung)

${}{\begin{aligned}{\mathbb {C} }[W,Z]/{\left(W^{2}+2{\mathrm {i} }W-Z^{2},W^{2}+2{\mathrm {i} }W-4Z^{2}\right)}&={\mathbb {C} }[W,Z]/{\left(W^{2}+2{\mathrm {i} }W-Z^{2},3Z^{2}\right)}\\&={\mathbb {C} }[W,Z]/{\left(W^{2}+2{\mathrm {i} }W,Z^{2}\right)}\\&={\mathbb {C} }[W,Z]/{\left(W(W+2{\mathrm {i} }),Z^{2}\right)}.\end{aligned}}$

In der Lokalisierung am maximalen Ideal ist ${}W+2{\mathrm {i} }$ eine Einheit, deshalb ist

${}{\mathbb {C} }[W,Z]_{(W,Z)}/{\left(W(W+2{\mathrm {i} }),Z^{2}\right)}={\mathbb {C} }[W,Z]_{(W,Z)}/{\left(W,Z^{2}\right)}={\mathbb {C} }[Z]/{\left(Z^{2}\right)}\,,$

die Schnittmultiplizität ist also ${}2$. Das gleiche Argument zeigt, dass auch im anderen Schnittpunkt die Schnittmultiplizität gleich ${}2$ ist. Wegen

${}2+2=4=2\cdot 2\,$

stimmt der Satz von Bezout.

Zur gelösten Aufgabe