Satz von Morera

Einleitung

Der Satz von Morera bildet zusammen mit dem Cauchy-Integralsatz ein Holomorphiekriterium in der Funktionentheorie, der eine hinreichende Bedingung für die Holomorphie einer Funktion liefert. Er ist damit eine Art Umkehrung des Cauchyschen Integralsatzes. Als Holomorphiekriterium erhält man damit eine äquivalente Eigenschaft zur Holomorphie.

$$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0\quad \Longleftrightarrow \quad f\,{\mbox{ holomorph}}$$

Satz von Morera

Sei $f:G\to \mathbb {C}$ eine stetige Funktion auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet $G\subseteq \mathbb {C}$. Wenn für jeden geschlossenen Weg $\gamma$ in $D$ gilt, dass

$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0,$

dann ist $f$ holomorph auf $G$.

Beweis des Satzes von Morera

Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweisschritte

• Stetigkeit und Differenzierbarkeit
• Verwendung des Cauchyschen Integralsatzes
• Konstruktion einer Stammfunktion
• Differenzierbarkeit von $F$ liefert Holomorphie von $f$

Beweisschritt 1 - Voraussetzungen

• $f:G\to \mathbb {C}$ ist stetig.
• $G$ ist ein einfach zusammenhängendes Gebiet.
• Für jeden geschlossenen Weg $\gamma$ in $G$ gilt $\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0$.

Beweisschritt 2 - Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Zu zeigen ist nun, dass $f:G\to \mathbb {C}$ holomorph auf ganz $G$ ist. Da $f$ stetig ist, muss man für jeden Punkt $z_{0}\in G$ zeigen, dass $f$ in $z_{0}\in G$ komplex differenzierbar ist, d.h.

$f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}$

existiert.

Beweisschritt 3 - Verwendung des Cauchyschen Integralsatzes

Der Cauchy-Integralsatz besagt, dass für eine holomorphe Funktion $g$ auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet $G$ und jeden geschlossenen Weg $\gamma$ in $G$ gilt:

$\oint _{\gamma }g(z)\,dz=0.$

Da $f$ die Bedingung des Satzes von Morera erfüllt, gilt $\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0$ für jeden geschlossenen Weg $\gamma$ in $G$.

Beweisschritt 4 - Konstruktion einer Stammfunktion

Man definiert nun die Funktion $F:G\to \mathbb {C}$ als Wegintegral von dem festen Punkt $z_{o}\in G$ zu einem beliebigen Punkt $z\in G$.

$F(z)=\int _{\gamma _{z}}f(\xi )\,d\xi ,$

wobei $\gamma _{z}:[a,b]\to G$ ein zu $z\in G$ gewählter Integrationsweg, dessen Spur vollständig in $G$ liegt.

Beweisschritt 5 - Wohldefiniertheit der Stammfunktion

Betrachtet man einen weiteren Weg ${\widetilde {\gamma _{z}}}:[a,b]\to G$ mit ${\widetilde {\gamma _{z}}}(a)=z_{o}$ und ${\widetilde {\gamma _{z}}}(b)=z$. Dann ist $\gamma :=\gamma _{z}-{\widetilde {\gamma _{z}}}$ Da $\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0$ für jeden geschlossenen Weg $\gamma$ in $G$ gilt, ist $F$ wohldefiniert und unabhängig vom speziellen Weg von $z_{0}$ nach $z$.

Beweisschritt 6 - Differenzierbarkeit des Wegintegrals

Man zeigt dann, dass $F$ differenzierbar ist und $F'(z)=f(z)$ für alle $z\in D$.

• Sei $z\in D$ und $h\in \mathbb {C}$ mit $|h|$ klein genug, sodass $z+h\in D$. Dann gilt:

${\frac {F(z+h)-F(z)}{h}}={\frac {1}{h}}\left(\int _{z_{0}}^{z+h}f(\zeta )\,d\zeta -\int _{z_{0}}^{z}f(\zeta )\,d\zeta \right)={\frac {1}{h}}\int _{z}^{z+h}f(\zeta )\,d\zeta .$

• Da $f$ stetig ist, gilt: $\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int _{z}^{z+h}f(\zeta )\,d\zeta =f(z).$ Also ist $F$ differenzierbar und $F'(z)=f(z)$.

(siehe auch ausführlichere Darstellung des oben definierten Wegintegrals als Stammfunktion)

Beweisschritt 7 - Holomorphie von $f$

• Da $F$ differenzierbar ist und $F'(z)=f(z)$, ist $f$ die Ableitung einer holomorphen Funktion $F$.
• Da die Ableitung einer holomorphen Funktion selbst holomorph ist, ist $f$ holomorph auf $D$.

Insgesamt wurde gezeigt, dass eine stetige Funktion $f$ auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet $G$, die die Bedingung des Satzes von Morera erfüllt, dann auch holomorph auf $G$ ist. Der Beweis verwendet die Konstruktion einer Stammfunktion $F$ und die Differenzierbarkeit von $F$, um die Holomorphie von $f$ zu zeigen.

Siehe auch

• Cauchy-Integralsatz
• Cauchy-Integralformel
• einfach zusammenhängend
• Holomorphie
• Stetigkeit

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