Satz von Morera

Einleitung

Der Satz von Morera bildet zusammen mit dem Cauchy-Integralsatz ein Holomorphiekriterium in der Funktionentheorie, der eine hinreichende Bedingung für die Holomorphie einer Funktion liefert. Er ist damit eine Art Umkehrung des Cauchy-Integralsatzes. Als Holomorphiekriterium erhält man damit eine äquivalente Eigenschaft zur Holomorphie.

$$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0\quad \Longleftrightarrow \quad f\,{\mbox{ holomorph}}$$

Satz von Morera

Sei $f:G\to \mathbb {C}$ eine stetige Funktion auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet $G\subseteq \mathbb {C}$. Wenn für jeden geschlossenen Weg $\gamma$ in $D$ gilt, dass

$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0,$

dann ist $f$ holomorph auf $G$.

Beweis des Satzes von Morera

Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweisschritte

• Stetigkeit und Differenzierbarkeit
• Verwendung des Cauchyschen Integralsatzes
• Konstruktion einer Stammfunktion
• Differenzierbarkeit von $F$ liefert Holomorphie von $f$

Beweisschritt 1 - Voraussetzungen

• $f:G\to \mathbb {C}$ ist stetig.
• $G$ ist ein einfach zusammenhängendes Gebiet.
• Für jeden geschlossenen Weg $\gamma$ in $G$ gilt $\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0$.

Beweisschritt 2 - Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Zu zeigen ist nun, dass $f:G\to \mathbb {C}$ holomorph auf ganz $G$ ist. Da $f$ stetig ist, muss man für jeden Punkt $z_{0}\in G$ zeigen, dass $f$ in $z_{0}\in G$ komplex differenzierbar ist, d.h.

$f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}$

existiert.

Beweisschritt 3 - Verwendung des Cauchyschen Integralsatzes

Der Cauchy-Integralsatz besagt, dass für eine holomorphe Funktion $g$ auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet $G$ und jeden geschlossenen Weg $\gamma$ in $G$ gilt:

$\oint _{\gamma }g(z)\,dz=0.$

Da $f$ die Bedingung des Satzes von Morera erfüllt, gilt $\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0$ für jeden geschlossenen Weg $\gamma$ in $G$.

Beweisschritt 4 - Konstruktion einer Stammfunktion

Man definiert nun die Funktion $F:G\to \mathbb {C}$ als Wegintegral von dem festen Punkt $z_{o}\in G$ zu einem beliebigen Punkt $z\in G$.

$F(z)=\int _{\gamma _{z}}f(\xi )\,d\xi ,$

wobei $\gamma _{z}:[a,b]\to G$ ein zu $z\in G$ gewählter Integrationsweg, dessen Spur vollständig in $G$ liegt.

Beweisschritt 5 - Wohldefiniertheit der Stammfunktion

Betrachtet man einen weiteren Weg ${\widetilde {\gamma _{z}}}:[a,b]\to G$ mit ${\widetilde {\gamma _{z}}}(a)=z_{o}$ und ${\widetilde {\gamma _{z}}}(b)=z$. Dann ist $\gamma :=\gamma _{z}-{\widetilde {\gamma _{z}}}$ Da $\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0$ für jeden geschlossenen Weg $\gamma$ in $G$ gilt, ist $F$ wohldefiniert und unabhängig vom speziellen Weg von $z_{0}$ nach $z$.

Beweisschritt 6 - Differenzierbarkeit des Wegintegrals

Man zeigt dann, dass $F$ differenzierbar ist und $F'(z)=f(z)$ für alle $z\in D$.

• Sei $z\in D$ und $h\in \mathbb {C}$ mit $|h|$ klein genug, sodass $z+h\in D$. Dann gilt:

${\frac {F(z+h)-F(z)}{h}}={\frac {1}{h}}\left(\int _{z_{0}}^{z+h}f(\zeta )\,d\zeta -\int _{z_{0}}^{z}f(\zeta )\,d\zeta \right)={\frac {1}{h}}\int _{z}^{z+h}f(\zeta )\,d\zeta .$

• Da $f$ stetig ist, gilt: $\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int _{z}^{z+h}f(\zeta )\,d\zeta =f(z).$ Also ist $F$ differenzierbar und $F'(z)=f(z)$.

(siehe auch ausführlichere Darstellung des oben definierten Wegintegrals als Stammfunktion)

Beweisschritt 7 - Holomorphie von $f$

• Da $F$ differenzierbar ist und $F'(z)=f(z)$, ist $f$ die Ableitung einer holomorphen Funktion $F$.
• Da die Ableitung einer holomorphen Funktion selbst holomorph ist, ist $f$ holomorph auf $D$.

Insgesamt wurde gezeigt, dass eine stetige Funktion $f$ auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet $G$, die die Bedingung des Satzes von Morera erfüllt, dann auch holomorph auf $G$ ist. Der Beweis verwendet die Konstruktion einer Stammfunktion $F$ und die Differenzierbarkeit von $F$, um die Holomorphie von $f$ zu zeigen.

Siehe auch

• Cauchy-Integralsatz
• Cauchy-Integralformel
• einfach zusammenhängend
• Holomorphie
• Stetigkeit

Kurse

• Kurs:Funktionentheorie

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