Schema über R/Invertierbare Garbe/Schnitte/Morphismus in projektiven Raum/Über affinen Kegel/Aufgabe

Es sei ${}X$ ein Schema über einem kommutativen Ring ${}R$, es sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$ und es seien ${}s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ globale Schnitte auf ${}X$. Es sei ${}L\rightarrow X$ das Geradenbündel im Sinne von Fakt zur dualen invertierbaren Garbe ${}{\mathcal {L}}^{*}$ derart, dass man die ${}s_{i}$ als Morphismen

$L\longrightarrow X\times {\mathbb {A} }_{R}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{R}^{1}$

auffassen kann. Zeige, dass dann ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}L&{\stackrel {(s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n})}{\longrightarrow }}&{{\mathbb {A} }_{R}^{n+1}}\supseteq \bigcup _{i=1}^{n}D(x_{i})&\\\downarrow &&\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\X\supseteq \bigcup _{i=1}^{n}X_{s_{i}}&{\stackrel {\varphi _{s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n},{\mathcal {L}}}}{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{R}^{n}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vorliegt, wobei rechts die Kegelabbildung steht.

Eine Lösung erstellen