Schema über R/Invertierbare Garbe/Schnitte/Morphismus in projektiven Raum/Hyperebene/Urbild/Fakt

Es sei ${}X$ ein Schema über einem kommutativen Ring ${}R$, es sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$ und es seien ${}s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ globale Schnitte auf ${}X$ und ${}\varphi \colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{R}^{n}$ der zugehörige Morphismus.

Dann ist das Urbild der Hyperebene

${}V_{+}(a_{0}X_{0}+a_{1}X_{1}+\cdots +a_{n}X_{n})\subset {\mathbb {P} }_{R}^{n}\,$

(mit ${}a_{i}\in R$, nicht alle gleich ${}0$) unter ${}\varphi$ gleich der Nullstellenmenge

${}Z{\left(a_{0}s_{0}+a_{1}s_{1}+\cdots +a_{n}s_{n}\right)}=X\setminus X_{a_{0}s_{0}+a_{1}s_{1}+\cdots +a_{n}s_{n}}\,$

des zurückgezogenen Schnittes ${}a_{0}s_{0}+a_{1}s_{1}+\cdots +a_{n}s_{n}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen