Scherung/Oben rechts/Isomorph zu R/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${}{\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a+b\\0&1\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&-a\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a-a\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,.$

Diese Menge ist also abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation und enthält mit jedem Element auch das inverse Element. Für  ${}a=0$  liegt die Einheitsmatrix vor. Da diese Matrizen die Determinante ${}1$ besitzen, liegt insgesamt eine Untergruppe der speziellen linearen Gruppe vor.

b) Die Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow S,\,a\longmapsto {\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}},$

ist ein Gruppenisomorphismus.

Zur gelösten Aufgabe