Schnittmultiplizität/Graph/y-Achse und x-Achse/Aufgabe/Lösung

a) Die ${}y$-Achse ist ${}V(X)$. Es ist

${}F=a_{n}X^{d}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,.$

Der einzige Schnittpunkt des Graphen mit der ${}y$-Achse ist  ${}(0,F(0))=(0,a_{0})$.  Die passenden Koordinaten sind ${}X$ und

${}Z=Y-a_{0}\,.$

Wir können daher  ${}a_{0}=0$  annehmen. Es ist

${}K[X,Y]/(X,Y-F)=K[X,Y]/(X,Y)=K\,$

eindimensional, was auch für die Lokalisierung an ${}(X,Y)$ gilt. Die Schnittmultiplizität ist also gleich ${}1$.

b) Es sei

${}F=X^{n}\,.$

Dann geht es um die Dimension von

${}K[X,Y]/{\left(Y,Y-X^{n}\right)}=K[X]/{\left(X^{n}\right)}\,,$

was gleich ${}n$ ist. Die Schnittmultiplizität ist also ${}n$.

Zur gelösten Aufgabe