Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Dimension von Stufe im homogenen Restklassenring/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die exakte Sequenz

$0{\stackrel {}{\longrightarrow }}P{\stackrel {(G,-F)}{\longrightarrow }}P\times P{\stackrel {(F,G)}{\longrightarrow }}P{\stackrel {}{\longrightarrow }}P/(F,G)\longrightarrow 0.$

Dabei steht vorne die Abbildung ${}H\mapsto (GH,-FH)$, dann folgt die Abbildung ${}(A,B)\mapsto (AF+BG)$ und schließlich die Restklassenbildung. All diese Abbildungen sind ${}P$-Modulhomomorphismen. Die Injektivität vorne ist klar, da ${}P$ ein Integritätsbereich ist. Die Exaktheit an den beiden hinteren Stellen ist klar, bleibt noch die Exaktheit an der zweiten Stelle zu zeigen. Dort ist klar, dass die Verknüpfung die Nullabbildung ist. Es sei also ${}AF+BG=0$ in ${}P$. Da ${}P$ faktoriell ist und da ${}F$ und ${}G$ teilerfremd sind folgt aber, dass ${}A$ ein Vielfaches von ${}G$ sein muss. Dann kann man durch ${}G$ teilen und erhält, dass ${}B$ ein Vielfaches von ${}F$ sein muss (mit dem gleichen Faktor). Also kommt ${}(A,B)$ von links.

Da ${}F$ und ${}G$ homogen mit fixierten Graden sind, kann man diese Sequenz einschränken auf homogene Stufen, und zwar ergibt sich dabei die exakte Sequenz

$0{\stackrel {}{\longrightarrow }}P_{\ell -m-n}{\stackrel {(G,-F)}{\longrightarrow }}P_{\ell -m}\times P_{\ell -n}{\stackrel {(F,G)}{\longrightarrow }}P_{\ell }{\stackrel {}{\longrightarrow }}(P/(F,G))_{\ell }\longrightarrow 0$

(dabei sind die Stufen für negativen Index gleich ${}0$). Die Exaktheit bleibt erhalten, da bei einem homogenen Homomorphismus die Stufen unabhängig voneinander sind. Alle beteiligten Stufen sind nun endlichdimensionale Vektorräume. Für ${}\ell \geq m+n$ sind alle Indizes nichtnegativ und daher gilt ${}\dim(P_{\ell })={\frac {(\ell +1)(\ell +2)}{2}}$. Wegen der Additivität der Vektorraumdimension bei exakten Komplexen (siehe Aufgabe) ergibt sich

${}{\begin{aligned}\dim((P/(F,G)_{\ell }))&={\frac {(\ell +1)(\ell +2)}{2}}-{\frac {(\ell -m+1)(\ell -m+2)}{2}}-{\frac {(\ell -n+1)(\ell -n+2)}{2}}+{\frac {(\ell -m-n+1)(\ell -m-n+2)}{2}}\\&={\frac {2-(-m+1)(-m+2)-(-n+1)(-n+2)+(-m-n+1)(-m-n+2)}{2}}\\&={\frac {2mn}{2}}\\&=mn.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage