Wir betrachten die
exakte Sequenz
-
Dabei steht vorne die Abbildung
, dann folgt die Abbildung
und schließlich die
Restklassenbildung.
All diese Abbildungen sind
-Modulhomomorphismen.
Die Injektivität vorne ist klar, da
ein Integritätsbereich ist. Die Exaktheit an den beiden hinteren Stellen ist klar, bleibt noch die Exaktheit an der zweiten Stelle zu zeigen. Dort ist klar, dass die Verknüpfung die Nullabbildung ist. Sei also
in
. Da
faktoriell ist und da
und
teilerfremd sind folgt aber, dass
ein Vielfaches von
sein muss. Dann kann man durch
teilen und erhält, dass
ein Vielfaches von
sein muss
(mit dem gleichen Faktor).
Also kommt
von links.
Da
und
homogen mit fixierten Graden sind, kann man diese Sequenz einschränken auf homogene Stufen, und zwar ergibt sich dabei die exakte Sequenz
-
(dabei sind die Stufen für negativen Index gleich
).
Die Exaktheit bleibt erhalten, da bei einem homogenen Homomorphismus die Stufen unabhängig voneinander sind. Alle beteiligten Stufen sind nun endlichdimensionale Vektorräume. Für
sind alle Indizes nichtnegativ und daher gilt
.
Wegen der Additivität der Vektorraumdimension bei exakten Komplexen
(siehe
Aufgabe)
ergibt sich
