Separable Körpererweiterung/Textabschnitt

Definition

Eine endliche Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt separabel, wenn für jedes Element ${}x\in L$ das Minimalpolynom separabel ist.

Lemma

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche separable Körpererweiterung und ${}M$, ${}K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper.

Dann ist auch ${}M\subseteq L$ eine separable Körpererweiterung.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Lemma

Es sei ${}K\subseteq L=K[x]=K(x)$ eine endliche einfache Körpererweiterung vom Grad ${}d=\operatorname {grad} _{K}L$. Es sei ${}K\subseteq M$ eine Körpererweiterung, unter der das Minimalpolynom ${}F$ von ${}x$ in Linearfaktoren zerfällt.

Dann ist ${}F$ genau dann ein separables Polynom, wenn es ${}d$ verschiedene ${}K$-Einbettungen von ${}L$ in ${}M$ gibt.

Beweis

Es sei also ${}K\subseteq L=K[x]=K[X]/(F)$ vom Grad ${}d$ mit dem Minimalpolynom ${}F$ gegeben. Dieses Polynom ${}F$ ist genau dann separabel, wenn es in ${}M$ genau ${}d$ Nullstellen besitzt. Diese Nullstellen stehen gemäß Fakt in Bijektion zu den ${}K$-Algebrahomomorphismen von ${}L=K[X]/(F)$ nach ${}M$.

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Lemma

Es sei ${}K\subseteq L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}d=\operatorname {grad} _{K}L$ mit der Eigenschaft, dass die Minimalpolynome ${}F_{i}\in K[X]$ zu den ${}x_{i}$ separabel sind. Es sei ${}K\subseteq M$ eine Körpererweiterung, unter der die ${}F_{i}$ in Linearfaktoren zerfallen.

Dann gibt es ${}d$ verschiedene ${}K$-Einbettungen von ${}L$ in ${}M$.

Beweis

Wir führen Induktion über ${}n$, bei ${}n=0$ ist der Grad der Körpererweiterung gleich ${}1$ und es gibt auch nur die ${}K$-Einbettung ${}K\subseteq M$. Es sei die Aussage für ${}n$ bewiesen. Wir betrachten die Körperkette

${}K\subseteq K'=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\subseteq K'[x_{n+1}]=L\,.$

Wir wissen also, dass es ${}\operatorname {grad} _{K}K'$ verschiedene ${}K$-Einbettungen von ${}K'$ nach ${}M$ gibt. Aufgrund der Gradformel genügt es zu zeigen, dass es für ${}K'\subseteq K'[x_{n+1}]=L$ so viele ${}K'$-Einbettungen von ${}L$ in ${}M$ gibt, wie es der Körpergrad ${}\operatorname {grad} _{K'}L$ vorgibt. Es genügt also, den Fall ${}n=1$ zu beweisen, und dieser folgt aus Fakt.

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Satz

Es sei ${}K\subseteq L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ eine endliche Körpererweiterung. Es sei vorausgesetzt, dass die Minimalpolynome ${}F_{i}$ der ${}x_{i}$ separabel sind.

Dann ist die Erweiterung ${}K\subseteq L$

separabel.

Beweis

Wir führen Induktion über den Grad der Körpererweiterung, wobei der Grad ${}1$ trivial ist. Es sei ${}x\in L$, ${}x\not \in K$, mit Minimalpolynom ${}F\in K[X]$. Wir betrachten den zugehörigen Zwischenkörper

${}K\subseteq K[x]\cong K[X]/(F)\subseteq L\,,$

wobei die Grade mit ${}d_{1}=\operatorname {grad} _{K}K[x]$, ${}d_{2}=\operatorname {grad} _{K[x]}L$ und mit ${}d=d_{1}d_{2}=\operatorname {grad} _{K}L$ bezeichnet seien. Es sei ${}K\subseteq M$ ein Körper, über dem ${}F$ und die ${}F_{i}$ in Linearfaktoren zerfallen. Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(L,M\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(K[x],M\right)},$

wobei einfach der Definitionsbereich eingeschränkt wird. Nach Fakt gibt es ${}d$ verschiedene ${}K$-Algebrahomomorphismen von ${}L$ nach ${}M$. Nach Induktionsvoraussetzung ist ${}K[x]\subseteq L$ eine separable Körpererweiterung vom Grad ${}d_{2}$ und daher gibt es nach Fakt zu jedem fixierten ${}K$-Algebrahomomorphismus von ${}K[x]$ nach ${}M$ genau ${}d_{2}$ ${}K$-Algebrahomomorphismen von ${}L$ nach ${}M$, die diesen Homomorphismus fortsetzen. Die Anzahl der Elemente in den Fasern von ${}\Psi$ ist also stets gleich ${}d_{2}$ und somit besitzt das Bild ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(K[x],M\right)}$ genau ${}d_{1}$ Elemente. Also gibt es ${}d_{1}$ ${}K$-Algebrahomomorphismen von ${}K[x]\cong K[X]/(F)$ nach ${}M$ und somit ist ${}F$, wiederum nach Fakt, ein separables Polynom.

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