Separable Körpererweiterung/Textabschnitt

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Definition  

Eine endliche Körpererweiterung heißt separabel, wenn für jedes Element das Minimalpolynom separabel ist.




Lemma

Es sei eine endliche separable Körpererweiterung und , , ein Zwischenkörper.

Dann ist auch eine separable Körpererweiterung.

Beweis

Siehe Aufgabe.





Lemma  

Es sei eine endliche einfache Körpererweiterung vom Grad . Es sei eine Körpererweiterung, unter der das Minimalpolynom von in Linearfaktoren zerfällt.

Dann ist genau dann ein separables Polynom, wenn es verschiedene -Einbettungen von in gibt.

Beweis  

Es sei also vom Grad mit dem Minimalpolynom gegeben. Dieses Polynom ist genau dann separabel, wenn es in genau Nullstellen besitzt. Diese Nullstellen stehen gemäß Fakt in Bijektion zu den -Algebrahomomorphismen von nach .




Lemma  

Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad mit der Eigenschaft, dass die Minimalpolynome zu den separabel sind. Es sei eine Körpererweiterung, unter der die in Linearfaktoren zerfallen.

Dann gibt es verschiedene -Einbettungen von in .

Beweis  

Wir führen Induktion über , bei ist der Grad der Körpererweiterung gleich und es gibt auch nur die -Einbettung . Sei die Aussage für bewiesen. Wir betrachten die Körperkette

Wir wissen also, dass es verschiedene -Einbettungen von nach gibt. Aufgrund der Gradformel genügt es zu zeigen, dass es für so viele -Einbettungen von in gibt, wie es der Körpergrad vorgibt. Es genügt also, den Fall zu beweisen, und dieser folgt aus Fakt.





Satz  

Es sei eine endliche Körpererweiterung. Es sei vorausgesetzt, dass die Minimalpolynome der separabel sind.

Dann ist die Erweiterung

separabel.

Beweis  

Wir führen Induktion über den Grad der Körpererweiterung, wobei der Grad trivial ist. Es sei , , mit Minimalpolynom . Wir betrachten den zugehörigen Zwischenkörper

wobei die Grade mit , und mit bezeichnet seien. Es sei ein Körper, über dem und die in Linearfaktoren zerfallen. Wir betrachten die Abbildung

wobei einfach der Definitionsbereich eingeschränkt wird. Nach Fakt gibt es verschiedene -Algebrahomomorphismen von nach . Nach Induktionsvoraussetzung ist eine separable Körpererweiterung vom Grad und daher gibt es nach Fakt zu jedem fixierten -Algebrahomomorphismus von nach genau -Algebrahomomorphismen von nach , die diesen Homomorphismus fortsetzen. Die Anzahl der Elemente in den Fasern von ist also stets gleich und somit besitzt das Bild genau Elemente. Also gibt es -Algebrahomomorphismen von nach und somit ist , wiederum nach Fakt, ein separables Polynom.