Singularitäten/Analytische Situation/Lokaler Ring/Textabschnitt

Definition

Eine auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ definierte Funktion

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

heißt holomorph, wenn sie komplex differenzierbar ist.

Definition

Eine auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ definierte Funktion

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

heißt komplex-analytisch, wenn sie sich in jedem Punkt ${}P\in U$ auf einer offenen Umgebung ${}P\in V\subseteq U$ durch eine konvergente Potenzreihe beschreiben lässt.

Der folgende Satz ist ein Hauptsatz aus der Funktionentheorie mehrerer Variablen.

Satz

Es sei

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ definierte Funktion.

Dann ist ${}f$ genau dann holomorph, wenn ${}f$ komplex-analytisch ist.

Definition

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }^{n}$. Dann nennt man den Ring aller in einer offenen Umgebung von ${}P$ definierten holomorphen Funktionen den Ring der konvergenten Potenzreihen in ${}P$. Dabei werden Funktionen identifiziert, wenn sie auf einer gemeinsamen offenen Umgebung von ${}P$ übereinstimmen, und die Addition und die Multiplikation wird auf offenen Umgebungen durchgeführt, auf denen beide Funktionen definiert sind.

Der Ring der konvergenten Potenzreihen wird mit ${}{\mathcal {O}}_{P}$ bezeichnet. Dieser Ring hängt nur von der Dimension, also der Anzahl der Variablen ab, nicht aber vom Punkt ${}P$. Häufig wird er auch mit ${}{\mathcal {O}}_{n}$ bezeichnet. Zum Nullpunkt bilden die Variablen ${}X_{1},\ldots ,X_{n}$ ein minimales Erzeugendensystem des maximalen Ideals. Zum Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ bzw. zur Lokalisierung ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{1},\ldots ,X_{n}}$ besteht die Beziehung

${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}^{s}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{1},\ldots ,X_{n}}/{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}^{s}={\mathcal {O}}_{n}/{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}^{s}\,$

für alle ${}s$, d.h. die Restklassenringe zu Potenzen des maximalen Ideals stimmen in den verschiedenen Konzepten überein. Somit stimmen beispielsweise auch die Hilbert-Samuel-Funktion, das Jacobiideal und die Milnorzahl zu einem Polynom etc. überein.

Lemma

Der Ring der konvergenten Potenzreihen in ${}P\in {\mathbb {C} }^{n}$ ist

lokal mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}_{P}={\left\{f\in {\mathcal {O}}_{P}\mid f(P)=0\right\}}$.

Beweis

Es ist klar, dass ${}{\mathfrak {m}}_{P}$ ein Ideal ist. Wenn die holomorphe Funktion ${}f$ nicht zu ${}{\mathfrak {m}}_{P}$ gehört, so ist ${}f(P)\neq 0$ und dann ist ${}f$ auch in einer offenen Umgebung von ${}P$ nullstellenfrei. Dort ist ${}1/f$ eine wohldefinierte holomorphe Funktion und das bedeutet, dass ${}f$ in ${}{\mathcal {O}}_{P}$ eine Einheit ist. Also handelt es sich bei ${}{\mathfrak {m}}_{P}$ um das einzige maximale Ideal.

$\Box$