Skalarmultiplikation/R/Total differenzierbar/Aufgabe/Kommentar

Wir können in ${}V$ eine Basis festlegen und in dem zugehörigen Koordinatenraum ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt arbeiten. Wir betrachten also die Skalarmultiplikation in der Form

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n+1}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(s,v_{1},\dotsc ,v_{n})\longmapsto (sv_{1},\dotsc ,sv_{n}).$

Wir zeigen die Differenzierbarkeit über die Definition. Damit es einfacher aufzuschreiben ist, fassen wir wieder die 2. bis letzte Koordinate in einem Vektor zusammen. Für die Differenzierbarkeit im Punkt ${}P=(s,v)$ müssen wir die lineare Approximierbarkeit zeigen. Das heißt wir müssen zeigen, dass für ${}(t,w)$ aus einer kleinen Umgebung von ${}P$ eine lineare Abbildung ${}(D\varphi )_{P}(t,w)$ und eine in Null stetige Abbildung ${}r(t,v)$ mit ${}r(0)=0$ existieren, sodass

$\varphi (s+t,v+w)=\varphi (s,v)+(D\varphi )_{P}(t,w)+\lVert (t,w)\rVert r(t,w)$

gilt. Dazu schauen wir uns einfach einmal ${}\varphi (s+t,v+w)$ genauer an. Wir erhalten nach Einsetzen der Funktionsvorschrift

$\varphi (P+(t,w))=\varphi (s+t,v+w)=(s+t)(v+w)=sv+sw+tv+tw,$

dabei werden rechts skalarmultiplizierte Vektoren aufaddiert. Jetzt sammeln wir die entsprechenden Ausdrücke. Der erste Summand kann direkt als Funktionswert in ${}P$ identifiziert werden, also ${}sv=\varphi (P)$. Des Weiteren ist schon in der Aufgabenstellung suggeriert, dass ${}(D\varphi )_{P}(t,w)=sw+tv$ sein wird. Es muss noch gezeigt werden, dass dies eine lineare Funktion ist. Die Funktion ${}r$ müssen wir dann in dem Term ${}tw$ finden. Da ${}\lVert (t,w)\rVert$ noch ins Spiel kommen muss, erweitern wir mit dieser Norm und erhalten ${}r(t,w)={\frac {tw}{\lVert (t,w)\rVert }}$, falls ${}(t,w)\neq 0$ ist. Nun ist zu zeigen, dass dieses ${}r$ gegen Null geht für ${}(t,w)$ gegen Null, denn dann kann es dort mit Null stetig fortgesetzt werden und hat die gewünschten Eigenschaften.

Dazu nutzen wir, dass ${}r$ im ${}\mathbb {R} ^{n}$ gegen Null geht, wenn ${}\lVert r\rVert ^{2}$ gegen Null geht. Dieses geht wiederum gegen Null, weil

$\lVert r(t,w)\rVert ^{2}={\frac {\lVert tw\rVert ^{2}}{\lVert (t,w)\rVert ^{2}}}=\vert {t}\vert ^{2}{\frac {\lVert w\rVert ^{2}}{\lVert (t,w)\rVert ^{2}}}=\vert {t}\vert ^{2}{\frac {w_{1}^{2}+\dotsb +w_{n}^{2}}{t^{2}+w_{1}^{2}+\dotsb +w_{n}^{2}}}\leq \vert {t}\vert ^{2}{\frac {w_{1}^{2}+\dotsb +w_{n}^{2}}{w_{1}^{2}+\dotsb +w_{n}^{2}}}=\vert {t}\vert ^{2}.$

Insgesamt haben wir damit gezeigt, dass in einer Umgebung von ${}P$

$\varphi (s+t,v+w)=\varphi (s,v)+(D\varphi )_{P}(t,w)+\lVert (t,w)\rVert r(t,w),$

wobei ${}(D\varphi )_{P}(t,w)$ und ${}r$ die nötigen Eigenschaften besitzen. Da der Punkt ${}P$ bei obiger Betrachtung beliebig war, ist die Skalarmultiplikation ${}\varphi$ insgesamt differenzierbar. Es ist zu sehen, dass der Beweis der Differenzierbarkeit mit Hilfe der Definition recht mühsam sein kann. Das Benutzen von Fakt

ist in der Regel zu bevorzugen.

Zur kommentierten Aufgabe