Skalarprodukt/K/Cauchy Schwarz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Bei $w = 0$ ist die Aussage richtig. Es sei also $w \neq 0$ und damit auch $‖ w ‖ \neq 0$ . Damit hat man die Abschätzungen

\begin{matrix} 0 & \leq ⟨ v - \frac{⟨ v, w ⟩}{‖ w ‖^{2}} w, v - \frac{⟨ v, w ⟩}{‖ w ‖^{2}} w ⟩ \\ = ⟨ v, v ⟩ - \frac{⟨ v, w ⟩}{‖ w ‖^{2}} ⟨ w, v ⟩ - \frac{\overline{⟨ v, w ⟩}}{‖ w ‖^{2}} ⟨ v, w ⟩ + \frac{⟨ v, w ⟩ \overline{⟨ v, w ⟩}}{‖ w ‖^{4}} ⟨ w, w ⟩ \\ = ⟨ v, v ⟩ - \frac{⟨ v, w ⟩}{‖ w ‖^{2}} \overline{⟨ v, w ⟩} - \frac{\overline{⟨ v, w ⟩}}{‖ w ‖^{2}} ⟨ v, w ⟩ + \frac{⟨ v, w ⟩ \overline{⟨ v, w ⟩}}{‖ w ‖^{2}} \\ = ⟨ v, v ⟩ - \frac{⟨ v, w ⟩ \overline{⟨ v, w ⟩}}{‖ w ‖^{2}} \\ = ⟨ v, v ⟩ - \frac{| ⟨ v, w ⟩ |^{2}}{‖ w ‖^{2}} . \end{matrix}

Multiplikation mit

‖ w ‖^{2}

und Wurzelziehen ergibt das Resultat.