Skalarprodukt/K/Polarisationsformel mit Norm/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $V$ ein Vektorraum über $𝕂$ mit einem Skalarprodukt $⟨-,-⟩$ und der zugehörigen Norm $\Vert -\Vert$.

a) Zeige, dass bei  $𝕂=ℝ$  die Beziehung

$⟨v,w⟩=\frac{1}{2}(\Vert v+w{\Vert }^2-\Vert v{\Vert }^2-\Vert w{\Vert }^2)$

gilt.

b) Zeige, dass bei  $𝕂=ℂ$  die Beziehung

$⟨v,w⟩=\frac{1}{4}(\Vert v+w{\Vert }^2-\Vert v-w{\Vert }^2+\mathrm{i}\Vert v+\mathrm{i}w{\Vert }^2-\mathrm{i}\Vert v-\mathrm{i}w{\Vert }^2)$

gilt.

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