Stammbruch/Dezimalbruch/Aufgabe/Lösung

Ein Stammbruch ist genau dann auch ein Dezimalbruch, wenn er von der Form ${}{\frac {1}{2^{i}5^{j}}}$ mit ${}i,j\in \mathbb {N}$ ist.

1. Oberhalb von ${}{\frac {1}{100}}$ sind dies

   $1,\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{5}},\,{\frac {1}{8}},\,{\frac {1}{10}},\,{\frac {1}{16}},\,{\frac {1}{20}},\,{\frac {1}{25}},\,{\frac {1}{32}},\,{\frac {1}{40}},\,{\frac {1}{50}},\,{\frac {1}{64}},\,{\frac {1}{80}}.$

2. Wir zählen, wie viele der Brüche ${}{\frac {1}{2^{i}5^{j}}}$ mindestens gleich ${}{\frac {1}{1000}}$ sind, bzw., wie viele ganze Zahlen der Form ${}2^{i}5^{j}$ zwischen ${}1$ und ${}1000$ liegen. Dabei gehen wir so vor, dass wir die Potenz ${}5^{j}$ der ${}5$ festlegen und dann schauen, mit welchen Zweierpotenzen man das noch multiplizieren kann. Bei ${}j=0$ ist die maximale Zweierpotenz ${}2^{9}=512$, von dieser Art gibt es also zehn Zahlen. Bei ${}j=1$ ist die maximale Zweierpotenz ${}2^{7}=128$, von dieser Art gibt es also acht Zahlen. Bei ${}j=2$ ist ${}5^{2}=25$ und die maximale Zweierpotenz ist ${}2^{5}=32$, von dieser Art gibt es also sechs Zahlen. Bei ${}j=3$ ist ${}5^{3}=125$ und die maximale Zweierpotenz ist ${}2^{3}=8$, von dieser Art gibt es also vier Zahlen. Bei ${}j=4$ ist ${}5^{4}=625$ und die maximale Zweierpotenz ist ${}2^{0}=1$, von dieser Art gibt es also noch eine Zahl. Insgesamt gibt es also im angegebenen Bereich ${}29$ Stammbrüche, die zugleich Dezimalbrüche sind.

Zur gelösten Aufgabe