Stammfunktion/Rationale Funktion in x und beliebiger Wurzel aus Quotient aus linearen Polynomen/Reduktion/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können  ${}sa-rb\neq 0$  annehmen, da sonst Zähler und Nenner im Wurzelausdruck linear abhängig sind und man teilen könnte. Bei der angegebenen Substitution ist

${}{\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{rx+s}}}&={\sqrt[{n}]{\frac {a{\frac {su^{n}-b}{a-ru^{n}}}+b}{r{\frac {su^{n}-b}{a-ru^{n}}}+s}}}\\&={\sqrt[{n}]{\frac {a(su^{n}-b)+b(a-ru^{n})}{r(su^{n}-b)+s(a-ru^{n})}}}\\&={\sqrt[{n}]{\frac {asu^{n}-bru^{n}}{-rb+sa}}}\\&=u.\end{aligned}}$

Da die Ableitung der rationalen Funktion  ${}x={\frac {su^{n}-b}{a-ru^{n}}}$  nach ${}u$ wieder eine rationale Funktion in ${}u$ ist, ist das Gesamtergebnis nach dieser Substitution eine rationale Funktion in ${}u$.

Zur bewiesenen Aussage