Stammfunktion/Rationale Funktion in x und beliebiger Wurzel aus Quotient aus linearen Polynomen/Reduktion/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können  $sa-rb\ne 0$  annehmen, da sonst Zähler und Nenner im Wurzelausdruck linear abhängig sind und man teilen könnte. Bei der angegebenen Substitution ist

$\begin{array}{cc}\sqrt[n]{\frac{ax+b}{rx+s}}& =\sqrt[n]{\frac{a\frac{s{u}^n-b}{a-r{u}^n}+b}{r\frac{s{u}^n-b}{a-r{u}^n}+s}}\\ & =\sqrt[n]{\frac{a(s{u}^n-b)+b(a-r{u}^n)}{r(s{u}^n-b)+s(a-r{u}^n)}}\\ & =\sqrt[n]{\frac{as{u}^n-br{u}^n}{-rb+sa}}\\ & =u.\end{array}$

Da die Ableitung der rationalen Funktion  $x=\frac{s{u}^n-b}{a-r{u}^n}$  nach $u$ wieder eine rationale Funktion in $u$ ist, ist das Gesamtergebnis nach dieser Substitution eine rationale Funktion in $u$.

Zur bewiesenen Aussage