Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral

Einleitung

In dieser Lerneinheit wird die Erzeugung von Stammfunktionen von $f:G\to \mathbb {C}$ über Wegintegrale behandelt. Dabei verwendet man einen ausgezeichnet Punkt $z_{o}\in G$ , von dem aus ein Weg $\gamma :=[z_{o},z]$ als Konvexkombination zu einem beliebigen $z\in G$ definiert wird. Wegen der Konvexität von $G$ liegt die Spur des Weges $\gamma _{z}$ auch in $G$ .

Verallgemeinerte Intervalle

Die Notation $\gamma :=[z_{o},z]$ vereinfacht die Beschreibung von Konvexkombinationen 1. Ordnung in eine Intervallnotation, die aus der reellen Analysis bekannt ist. Im Unterschied zur reellen Analysis $[a,b]\subset \mathbb {R}$ ist $\gamma :=[z_{o},z]$ eine Abbildung

{\begin{array}{rrcl}\gamma :&[0,1]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&t&\mapsto &\gamma (t)=(1-t)\cdot z_{0}+t\cdot z_{1}\end{array}}

Das Intervall $[a,b]\subset \mathbb {R}$ in der reellen Analysis entspricht in der Funktionentheorie $Spur([a,b])\subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$ .

Satz - Stammfunktionen als Wegintegrale

Sei $f:G\to \mathbb {C}$ eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet $G$ . Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion $F:G\to \mathbb {C}$ auf $G$ , die als Wegintegral von einem festen Punkt $z_{0}\in G$ nach $z$ definiert ist.

F_{z_{o}}(z):=\int _{\gamma _{z}}f(\xi )\,d\xi =\int _{\langle z_{o},z\rangle }f(\xi )\,d\xi

Dabei ist $\gamma _{z}$ die Konvexkombination mit $\gamma _{z}(t)=(1-t)\cdot z_{o}+t\cdot z$

Bemerkung - Notation

Wenn $f(z)$ die Funktionsauswertung von $f$ an der Stelle $z\in G$ beschreibt, wertet $F(z)$ die Stammfunktion an der Stelle $z\in G$ aus. Auch in der reellen Analysis gibt es mehrere Stammfunktionen zu einer Funktion $f$ . In der komplexen Analysis hängt dies bei der Darstellung der Stammfunktion $F$ von dem Startpunkt des Wegintegrals $z_{o}\in G$ , daher wurde für die Stammfunktion die Notation $F_{z_{o}}$ . Da das Argument $z\in G$ das Argument der Funktion $F_{z_{o}}$ ist, musste eine weitere Integrationvariable verwendet werden (hier $\xi$ ).

Sternförmiges Gebiet

Die Eigenschaft, dass das Gebiet $G$ konvex ist, kann zu der Eigenschaft, dass $G$ ein sternförmiges Gebiet abgeschwächt werden. Für die Definition der Stammfunktion benötigt man nämlich nur einen ausgezeichneten Punkt $z_{o}\in G$ , von dem man alle anderen Punkt $z\in G$ über eine Konvexkombination in $G$ direkt verbinden kann.

Aufgabe - sternförmiges Gebiet

Erweitern Sie die Aussagen der Existenz von Stammfunktionen auf sternförmige Gebieten $G$ und begründen Sie Ihr Vorgehen zunächst geometrisch.

Beweis - Wegintegral als Stammfunktion

Der Beweis Wegintegral von einem festen Ausgangspunkt $z_{o}$ definieren, von dem man dann die Eigenschaft einer Stammfunktion nachweist. Diese gliedert sich insgesamt in die folgenden Beweisschritte:

Satz von Morera als Vorbereitung
Stammfunktion als Wegintegral auf konvexen Gebieten,
Wegunabhängigkeit
Differenzierbarkeit von $F$ ,
Berechnung des Grenzwerts,
Schlussfolgerung.

Zusammenfassung

Eine holomorphe Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ auf einem konvexen Gebiet $G$ besitzt eine Stammfunktion $F:G\to \mathbb {C}$ , die als Wegintegral von einem festen Punkt $z_{0}\in G$ nach $z$ definiert ist. Diese Stammfunktion $F$ ist differenzierbar und erfüllt $F'(z)=f(z)$ für alle $z\in G$ .

Siehe auch