Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral

Einleitung

In dieser Lerneinheit wird die Erzeugung von Stammfunktionen von $f : G \to ℂ$ über Wegintegrale behandelt. Dabei verwendet man einen ausgezeichnet Punkt $z_{o} \in G$ , von dem aus ein Weg $γ := [z_{o}, z]$ als Konvexkombination zu einem beliebigen $z \in G$ definiert wird. Wegen der Konvexität von $G$ liegt die Spur des Weges $γ_{z}$ auch in $G$ .

Verallgemeinerte Intervalle

Die Notation $γ := [z_{o}, z]$ vereinfacht die Beschreibung von Konvexkombinationen 1. Ordnung in eine Intervallnotation, die aus der reellen Analysis bekannt ist. Im Unterschied zur reellen Analysis $[a, b] \subset ℝ$ ist $γ := [z_{o}, z]$ eine Abbildung

\begin{matrix} γ : & [0, 1] & \to & ℂ \\ t & \mapsto & γ (t) = (1 - t) \cdot z_{0} + t \cdot z_{1} \end{matrix}

Das Intervall $[a, b] \subset ℝ$ in der reellen Analysis entspricht in der Funktionentheorie $S p u r ([a, b]) \subset ℝ \subset ℂ$ .

Satz - Stammfunktionen als Wegintegrale

Sei $f : G \to ℂ$ eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet $G$ . Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion $F : G \to ℂ$ auf $G$ , die als Wegintegral von einem festen Punkt $z_{0} \in G$ nach $z$ definiert ist.

F_{z_{o}} (z) := \int_{γ_{z}} f (ξ) d ξ = \int_{⟨ z_{o}, z ⟩} f (ξ) d ξ

Dabei ist $γ_{z}$ die Konvexkombination mit $γ_{z} (t) = (1 - t) \cdot z_{o} + t \cdot z$

Bemerkung - Notation

Wenn $f (z)$ die Funktionsauswertung von $f$ an der Stelle $z \in G$ beschreibt, wertet $F (z)$ die Stammfunktion an der Stelle $z \in G$ aus. Auch in der reellen Analysis gibt es mehrere Stammfunktionen zu einer Funktion $f$ . In der komplexen Analysis hängt dies bei der Darstellung der Stammfunktion $F$ von dem Startpunkt des Wegintegrals $z_{o} \in G$ , daher wurde für die Stammfunktion die Notation $F_{z_{o}}$ . Da das Argument $z \in G$ das Argument der Funktion $F_{z_{o}}$ ist, musste eine weitere Integrationsvariable verwendet werden (hier $ξ$ ).

Sternförmiges Gebiet

Die Eigenschaft, dass das Gebiet $G$ konvex ist, kann zu der Eigenschaft, dass $G$ ein sternförmiges Gebiet abgeschwächt werden. Für die Definition der Stammfunktion benötigt man nämlich nur einen ausgezeichneten Punkt $z_{o} \in G$ , von dem man alle anderen Punkt $z \in G$ über eine Konvexkombination in $G$ direkt verbinden kann.

Aufgabe - sternförmiges Gebiet

Erweitern Sie die Aussagen der Existenz von Stammfunktionen auf sternförmige Gebieten $G$ und begründen Sie Ihr Vorgehen zunächst geometrisch.

Beweis - Wegintegral als Stammfunktion

Der Beweis Wegintegral von einem festen Ausgangspunkt $z_{o}$ definieren, von dem man dann die Eigenschaft einer Stammfunktion nachweist. Diese gliedert sich insgesamt in die folgenden Beweisschritte:

Satz von Morera als Vorbereitung
Stammfunktion als Wegintegral auf konvexen Gebieten,
Wegunabhängigkeit
Differenzierbarkeit von $F$ ,
Berechnung des Grenzwerts zeigt dann $F^{'} = f$ ,

Zusammenfassung

Eine holomorphe Funktion $f : G \to ℂ$ auf einem konvexen Gebiet $G$ besitzt eine Stammfunktion $F : G \to ℂ$ , die als Wegintegral von einem festen Punkt $z_{0} \in G$ nach $z$ definiert ist. Diese Stammfunktion $F$ ist differenzierbar und erfüllt $F^{'} (z) = f (z)$ für alle $z \in G$ .

Siehe auch