Standard-graduierter Ring/K/Modul/Multiplizität/Einführung/Textabschnitt
Definition
Es sei ein standard-graduierter Ring über einem Körper und sei ein endlicher erzeugter -graduierter Modul über . Das Hilbertpolynom zu habe die Form
mit . Dann nennt man
die Multiplizität von .
Wenn das Hilbertpolynom das Nullpolynom ist, so betrachtet man als die Multiplizität. Diesen Ausnahmefall kann man umschiffen, wenn man das kumulative Hilbertpolynom betrachtet, siehe die Aufgaben.
Satz
Die Multiplizität des Polynomringes über einem Körper
ist .
Beweis
Nach Beispiel ist das Hilbertpolynom eines Polynomringes in Variablen gleich . Multiplikation des Leitkoeffizienten mit der Fakultät des Grades ergibt .
Satz
Es sei ein homogenes Polynom vom Grad .
Dann ist die Multiplizität von gleich .
Beweis
Dies folgt aus der expliziten Berechnung in Fakt.
Satz
Es sei ein standard-graduierter Ring über einem Körper und sei ein endlicher erzeugter -graduierter Modul über .
Dann ist die Multiplizität von eine natürliche Zahl.
Beweis
Diese Eigenschaft gilt nach Fakt für jede Funktion von polynomialen Typ.