Standard-graduierter Ring/K/Modul/Multiplizität/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein standard-graduierter Ring über einem Körper und sei ein endlicher erzeugter -graduierter Modul über . Das Hilbertpolynom zu habe die Form

mit . Dann nennt man

die Multiplizität von .

Wenn das Hilbertpolynom das Nullpolynom ist, so betrachtet man als die Multiplizität. Diesen Ausnahmefall kann man umschiffen, wenn man das kumulative Hilbertpolynom betrachtet, siehe die Aufgaben.



Satz  

Die Multiplizität des Polynomringes über einem Körper

ist .

Beweis  

Nach Beispiel ist das Hilbertpolynom eines Polynomringes in Variablen gleich . Multiplikation des Leitkoeffizienten mit der Fakultät des Grades ergibt .



Satz  

Es sei ein homogenes Polynom vom Grad .

Dann ist die Multiplizität von gleich .

Beweis  

Dies folgt aus der expliziten Berechnung in Fakt.



Satz  

Es sei ein standard-graduierter Ring über einem Körper und sei ein endlicher erzeugter -graduierter Modul über .

Dann ist die Multiplizität von eine natürliche Zahl.

Beweis  

Diese Eigenschaft gilt nach Fakt für jede Funktion von polynomialen Typ.